Symmetrische und antisymmetrische Matrix...

Question

Tag zusammen!
Kann ich folgende Aussage per vollständiger Induktion zeigen, also für ein bestimmtes n gibt es.... und dann von n auf n+1 schließen oder gibt es noch eine andere Beweismöglichkeit?

Sei A ∈ M_n(R). Zeigen Sie, dass es eine eindeutige symmetrische Matrix B ∈ M_n(R) und eine eindeutige antisymmetrische Matrix C ∈ M_n(R) gibt, sodass gilt A = B + C.

Answer 1

Hi Teilantwort,

eine Zerlegung ist die

$$ A = \frac{1}{2} ( A + A^T) + \frac{1}{2} ( A - A^T) $$

Der erste Term ist symmetrisch und der zweite antisymmetrisch. Die Eindeutigkeit ist noch zu zeigen.

Comments

Hi, die Eindeutigkeit bekommt man wie folgt. Seien \( A_s^i \) und \( A_a^i \) mit =1,2 symmetrische bzw. antisymmetrische Matrizen, mit i ist keine Potez gemeint sondern geknnzeichte verschieden Matrizen, mit

$$ A_s^i + A_a^i  = A   $$ dann folgt mit \(  B = A_s^1 - A_s^2  \) und \( C = A_a^1 - A_a^2 \)

$$ (1) \quad B + C = 0  $$ und \( B \) ist symmetrisch und \( C \) ist antsymmetrisch. Daraus folgt es muss gelten

$$ (2) \quad (B+C)^T = B - C = 0 $$

Aus (1) und (2) folgt \( B = C = 0 \)

Also ist die Zerlegung eindeutig.