0 Daumen
391 Aufrufe

Hallo Forum-Mitglieder,



ich habe eine kleine nette Aufgabe gefunden! Dabei soll man folgende Aufgabe mithilfe des Zwischenwertsatzen beweisen:


Ein runder Mamorkuchen bestehe auch 50% hellem un 50% dunklen Anteil. Kann er mit einem geraden Schnitt durch den Mittelpunkt immer so getrennt werden, dass in beiden Hälften immer noch 50% heller und 50% dunkler Anteil vorhanden ist? Man darf davon ausgehen, dass stetig ist und die genaue Verteilung des Teigs bekannt ist.


Meine Idee:

Man nehme an, bei dem Mamorkuchen handle es sich um einen gutartigen idealen Kuchen. Dann können wir den Mittelpunkt dieses Kuchens doch auch in den Ursprung des Koordinatensystems legen. Nun können wir den Anteil des weißen Kuchens in der negativen Häfte des Kuchens :=A und den Anteil des weißen Kuchens in der positive Hälfte des Kuchens:=B betrachten.

Fall1: Wenn nun die Anteile in beiden Häften gleich 50% sind, dann sind wir fertig.

Fall2: Man nehme nun an, A<0,5 und g:= Rest des weißen Anteils. Dann definieren wir nun eine Funktion f, die jedem y-Wert eine Gerade G(Y) zuordnet, sodass G(y) die negative Häfte teilt und das so, dass der Winkel zwischen der y-Achse und und G(y) minimal ist. Jede dieser Geraden teilt folglich auch die andere positive Häfte des Kuchens in zwei Teile (wobei die leere Menge auch als eine Zahl definiert ist ). Nun definieren wir die Abbildung:


A(Y)= Anteil des weißen Anteils oberhalb von G(Y)- Anteil des weißen Anteilsunterhalb von G(Y)

Die Aufgabenstellung sagt aus, dass wir annehmen können, dass die Funktion stetig ist. Nun können wir die Gerade so legen (das ist unter Beachtung unserer Annahmen total trivial), dass einmal oberhalb mehr bzw. weniger ist, sodass wir mit dem Zwischenwertsatz folgern können, dass eine Nullstelle existieren muss! Also haben wir die Aussage gezeigt.


Stimmt mein Ansatz oder muss man die Aufgabe ganz anders angehen?


LG

Orbi

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Der Kuchen in der Mitte des Koordinatensystems ist schon richtig. Du betrachtest jetzt den weißen Kuchenanteil p(x) auf der linken Seite also im Negativen bereich und den Drehwinkel x mit dem Du den Kuchen drehen kannst.

Ist p(x) = 0.5 sind wir fertig

ist p(x) < 0.5 dann ist p(x + 180) > 0.5 bzw.

ist p(x) > 0.5 dann ist p(x + 180) < 0.5

Wenn wir jetzt einen Wert über 0.5 und einen unter 0.5 haben muss es mindestens einmal einen Wert von exakt gleich 0.5 haben. Damit muss man den Kuchen nicht mal um 180 grad drehen, damit man genau einen Schnitt hat um in beiden Seiten eine Gleichverteilung zu erwirken.

Avatar von 477 k 🚀

Okay, wie ich sehe habe ich irgendwie völlig daneben gedacht. Jedenfalls vielen Dank für die Hilfe!


LG

Orbi

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community