Skalarproduktvektorräume über die Komplexen Zahlen

Question

Es soll überprüft werden ob folgender Vektorraum über ℂ mit der angegebenen Sesquilinearform zum Skalarproduktraum wird.

ℂ^{3x1} über ℂ mit

$$ <x,y> = \bar{x}^{tr} * \begin{pmatrix}  2 & -i & -2 \\ i & 2 & -i \\ 2 & i &2 \end{pmatrix} *y $$

für x,y ∈ ℂ^{3x1}

Ich habe zunächst versucht ein $$x=(x_1,x_2,x_3)$$ zu finden und die pos. definitheit zu widerlegen..

= 

= 

bedeutet es hier dass die pos. definitheit stets erfüllt ist?

Comments

Update:

wenn ich x=(-i,0,0) wähle.. komme ich auf einen Wert <0. Reicht das die pos. definitheit zu widerlegen?

= -2

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Sicher, dass die Matrix korrekt dargestellt ist?

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Stimmt, in der 2ten Zeile/ 3te Spalte sollte ein -i statt -1 stehen:

Dann wär das Ergebnis= 2 (x_(1)^2+x_(2)^2+x_(3)^2)

aber auch hier sollte mein Bsp. mit x= (-i,0,0) zum Widerspruch führen oder nicht?

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Sollte für diese Matrix nicht \(M^\mathsf T=\overline M\) gelten?
Außerdem solltest du von links mit dem konjugiert komplexen Zeilenvektor \(\overline x^\mathsf T\) multiplizieren.

Answer 1

ist nicht erfüllt, weil <x,x> noch nicht mal immer reell ist, also erst recht nicht ≥ 0.