Allgemeine Frage zu Skalarprodukt und Zwischenwinkel

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

In einem Quader ist die Strecke AB = 18 cm, BC = 9 cm und AE = 13 cm. M ist der Schnittpunkt der Raumdiagonalen. Berechne den Winkel ∠AMB.

Den Winkel konnte ich berechnen. Mit der Cosinusfunktion war das kein Problem.

Jedoch wollte ich zur Übung die Aufgabe auch noch mit dem Skalarprodukt mit der Formel a→•b→ / a•b lösen. Mit dieser Formel erhielt ich jedoch nicht den gesuchten Winkel sondern den Gegenwinkel zu 180°. Ich weiss, dass ich den Wert mal -1 rechnen kann, um das richtige Resultat zu erhalten. Jedoch ist für mich nicht ersichtlich, wann ich den gesuchten Winkel berechnet habe und wann den Gegenwinkel. Ich rechnete mit folgenden Werten: MA→ = (-4.5 -9 -6.5) und  MB→ = (4.5 -9 6.5).

Dieser Fehler machte ich nicht zum ersten Mal, doch ich weiss nicht, was an meinen Überlegungen falsch ist. Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Answer 1

A = [0, 0, 0]

B = [18, 0, 0]

C = [18, 9, 0]

E = [0, 0, 13]

M = [9, 4.5, 6.5]

∠AMB

MA = [- 9, - 4.5, - 6.5]

MB = [18, 0, 0] - [9, 4.5, 6.5] = [9, -4.5, -6.5]

γ = ARCCOS([- 9, - 4.5, - 6.5] * [9, -4.5, -6.5] / (|[- 9, - 4.5, - 6.5]| * |[9, -4.5, -6.5]|)) = 97.41°

Du hast den Richtigen Winkel wenn beide Vektoren vom Punkt weg zeigen oder zu ihm hinzeigen. Den Gegenwinkel hast du wenn ein Vektor wegzeigt und einer hinzeigt. Also bei MA und BM.

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Ich habe falsche Werte für die Punkte eingesetzt. Für B hatte ich den Punkt (0; 18; 0) und C (-9; 18; 0) usw. weil ich mir gewohnt bin, dass die Achse, die nach hinten geht die x-Achse ist..

Danke für die Hilfe

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Ich denke du hast MB nur falsch ausgerechnet.

Der Vektor MB wird bestimmt über

MB = B - M

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Vielleicht, ich schaue mir meinen Weg nochmals an. Genau dieser Fehler ist mir schon öfters passiert.

Answer 2

Im Dreieck AMB hast du doch die Seiten
wurzel(143,5) , wurzel(143,5) und 18
weil
143,5 + 143,5 < 18*18=324 ist,
ist es ein stumpfwinkliges Dreieck mit
stumfem Winkel gegenüber von AB, also der gesuchte.

Die vektorielle Lösung ist also die richtige.  Und die andere
mit cos-Satz ginge wohl so
324 = 143,5 + 143,5 - 2* 143,5*cos(w)   Korrektur
- 0,2578 = cos(w)
w=97,4°

Comments

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·COS(w)

mit a = b

c^2 = a^2 + a^2 - 2·a^2·COS(w)