Auflösen einer Gleichung: (x*√(x^2 + 1) * (1 - 2x) * (x - 5)) / (25 - 5x) = 0

Question

wie kann ich die folgende Gleichung nach x auflösen?

(x*√(x² + 1) * (1 - 2x) * (x - 5)) / (25 - 5x) = 0 ?

Muss ich die Gleichung * ^{25 - 5x} nehmen? So würde zumindest der Bruch verschwinden.

Für x*√(x² +1) kann man auch als x*(x² + 1)^1/2 darstellen, nur wie kann ich diesen Term ausmultiplizieren??
Die hoch 1/2 verwirren mich etwas..



LG

Answer 1

Verwende zwei Dinge: Ein Bruch wird 0, wenn der Zähler  0 wird und der Nenner ungleich 0. (Für x=5 erhalten wir keine Probleme, da du kürzen könntest.)

Im Zähler steht eine Multiplikation. Diese wird genau dann 0,wenn einer der Faktoren = 0 wird.
Also betrachte deine Faktoren einzeln.

Comments

(1-2x)(x-5) ergibt ja (x - 5 - 2x² + 10x), darf ich nun 5x in der Klammer kürzen,
sodass diese unter dem Bruch verschwinden?

Und wie kann ich x*(x²+1)^1/2 ausmultiplizieren?

Vielen Dank für deine Zeit Marvin!

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Dies ist der Zähler

 x * √(x² + 1) * (1 - 2x) * (x - 5)

Wenn dieser 0 wird : 0 / Nenner ist der ganze Bruch 0.

Dann den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

x = 0
und

√(x² + 1) = 0
x^2 + 1 = 0 : keine Lösung
und

(1 - 2x) = 0
2x = 1
x = 1/2
und

(x - 5) = 0
x = 5

Lösungen
x = 0, x = 1/2, x = 5

Überprüfung durch die Probe.

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Spätestens bei der Probe sollte auffallen, dass \(x=5\) keine Lösung sein kann.

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"Verwende zwei Dinge: Ein Bruch wird 0, wenn der Zähler  0 wird und der Nenner ungleich 0. (Für x=5 erhalten wir keine Probleme, da du kürzen könntest.)"

Das mit dem Problem ist falsch, gerade eben aus der Begründung des kürzens. wir kürzen mit (x-5) und damit fällt diese Nullstelle raus.

x= 5 ist also keine Lösung.

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Jetzt bin ich verwirrt :-D

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Wenn du 5 einsetzt.  Dann erhältst du im Nenner und Zähler eine 0. Jetzt musst du noch schauen,  ob eine hebbare Polstelle ist.   Also klammern wir im Nenner - 5 aus.  Wir erhalten dann im Zähler und im nenner (x-5).   Das können wir nun kurzen.

Also können wir nun die Nullstellen bestimmen,  indem wir Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmen.  Beispiel : Nullstellen von (x-2)(x+6)

Sind 2 und - 6 da dann einer der Faktoren gleich 0 wird.

Zu dem mit der hebbaren Polstelle: ein Beispiel

Wir haben die Funktion

x/x und wollen Nullstellen bestimmen.  Also

x/x =0

Jetzt können wir nicht einfach die Nullstellen des Zählers bestimmen,  indem wir einfach mit x multiplizieren.  Denn x/x=1 und das ist ungleich 0.

Verstehst worauf ich hinaus möchte?

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Soll die Gleichung in den Reellen Zahlen gelöst werden ?

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Allem Anschein nach, ja.

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Ich meine ja nur, dass das irgendwie nicht in der Aufgabenstellung steht und deshalb i auch noch als Lösung vorkommen kann