Kurvendiskussionen Analysis. f(x)=-0,5x²+3x-2,5

Question

Extremwerte berechnen - ohne 2. Ableitung ! ! !

Es geht um diese Funktion f(x)=-0,5x²+3x-2,5

1.) Erste Ableitung berechnen:

f´(x)=-x+3

2.) Nullstellen der ersten Ableitung berechnen:

f´(x)=0

f`´(x)=-x+3=0--->x=3

3.) Intervalle bennen

1. Intervall ]3;unendlich[

2. Intervall ]-unendlich;3[

4.) Monotonietabelle aufstellen

                                       

                                                  Intervall ]3;unendlich[             Intervall ]-unendlich;3[

              

         

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f´(x)                                                  -                                                     +

5.) Vorzeichen der Intervalle berechnen

-Zahl "4" aus Intervall ]3;+unendlich[

 f´(4)=-4+3=-1--> negatives Vorzeichen

-Zahl "2" aus Intervall ]-unendlich;3[

f´(2)=-2+3=1-->positives Vorzeichen

Und was muss ich jetzt machen ?

Answer 1

f(x) = - 0.5·x^2 + 3·x - 2.5

f'(x) = - x + 3

f'(x) beschreibt die Steigung der Funktion an der Stelle x.

Für x < 3 ist die Steigung positiv

Für x = 3 ist die Steigung null

Für x > 3 ist die Steigung negativ

Damit ist der Gesuchte Punkt ein Hochpunkt. Ist eigentlich auch logisch weil f(x) eine quadratische Funktion ist, die sicher eine nach unten geöffnete Parabel beschreibt.

Comments

Das habe ich irgendwie leider nicht verstanden:

WIe schließt Daus den Regeln:

Für x < 3 ist die Steigung positiv

Für x = 3 ist die Steigung null

Für x > 3 ist die Steigung negativ
Diesen Schluss:

Damit ist der Gesuchte Punkt ein Hochpunkt. Ist eigentlich auch logisch weil f(x) eine quadratische Funktion ist, die sicher eine nach unten geöffnete Parabel beschreibt.

?

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Zeichne dir doch mal einen Graphen auf

Vorher Nachher

Steigend Fallend

Der vor einer Stelle Steigend ist und danach fallend. Hast du dann nicht immer einen Hochpunkt?

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Bei einer quadratischen Funktion sehe ich nru einen...

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Gehe ganz formell vor

f´(x)=-x+3

Stelle mit waagerechter Tangente
f ´( x ) = 0
-x + 3 = 0
x = 3

Monotonie / Steigung > 0 ( steigend )
f ´( x ) > 0
-x + 3 > 0
3 > x
x < 3

Monotonie / Steigung < 0 ( fallend )
f ´( x ) < 0
-x + 3 < 0
3 < x
x > 3

Vor x = 3 steigend
Nach x = 3 fallend

x = 3 ist ein Hochpunkt

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Hallo Danke georgborn :)

Aber leider verstehe ich es nicht, ich will es gerne verstehen .......

Was soll das heißen und was hat das auf sich ?

Monotonie / Steigung > 0 ( steigend )
f ´( x ) > 0
-x + 3 > 0
3 > x
x < 3

Monotonie / Steigung < 0 ( fallend )
f ´( x ) < 0
-x + 3 < 0
3 < x
x > 3

Für x < 3 ist die Steigung positiv

Für x = 3 ist die Steigung null

Für x > 3 ist die Steigung negativ

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Schreib doch mal die erste Zeile auf die du nicht verstehst.

f ´( x ) > 0   [georgborn fragt sich wo die Steigung des Graphen positiv ist]
-x + 3 > 0   [wir ersetzen f'(x) durch unsere ableitung und addieren jetzt x auf beiden Seiten]
3 > x   [Nun drehen wir die ungleichung um]
x < 3

Für x < 3 ist die Steigung des Graphens also positiv. Wir schauen uns den Teil des Graphens mal an

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Zeichne zusätzlich mal die Funktion der Ableitung im Bereich um x = 3.

Frag dich wo ist die Ableitung = 0 wo ist sie < 0 und wo ist sie > 0.

Frag dich wie man das aus der Funktion der Ableitung direkt erkennen kann.