Gruppe. Formel an+m = an * am beweisen für n,m € Z.

Question

Kann mir jemand beim loesen der Aufgabe helfen ?

Answer 1

Wie man die a) beweist hängt von der verwendeten Defintion aⁿ ab.

Die b) geht wohl am einfachsten per Induktion.

Answer 2

zu a)     Voraussetzung:   a¹=a  und    aⁿ * a = aⁿ⁺¹  für alle  n aus IN   per Definition der Potenz

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:          a^m+1 = a^m *a = a^m * a¹    für n=1   (und ein festes m aus IN)

Induktionsvoraussetzung:  a^m+z = a^m *a^z  für ein festes z aus IN

zu zeigen:  a^m+z+1 = a^m * a^z+1

Es gilt:  a^m+z+1 = a^m+z * a = (a^m*a^z) * a  nach Induktionsvoraussetzung

                                                           = a^m *(a^z * a)  Assoziativgesetz (gilt in einer Gruppe)

                                                           = a^m * a^z+1