62x + 62x-3= 217

Question

brauche hilfe beim lösen der gleichung

 6^2x + 6^2x-3=217

Answer 1

Ohne Taschenrechner und in nachvollziehbaren Einzelschritten:

$$6^{2x} + 6^{2x-3}=217$$
$$6^{2x} + 6^{2x-3}=6^3 +6^0$$
$$6^{2x} + 6^{2x} \cdot 6^{-3}=6^3 +6^0$$
$$6^{2x} \cdot (1+6^{-3})=6^3 +6^0$$
$$6^{2x} \cdot (6^0+6^{-3})=6^3 +6^0$$
$$6^{2x} =\frac{6^3 +6^0 }{6^0+6^{-3}}$$
$$6^{2x} =\frac{6^3 +6^0 }{6^0+6^{-3}} \cdot \frac {6^3} {6^3}$$
$$6^{2x} = \frac{6^3 +6^0 }{6^3+6^{0}} \cdot 6^3$$
$$6^{2x} = 1 \cdot 6^3$$
$$6^{2x} = 6^3$$
$${2x} = 3$$
$$x = \frac 32$$

Comments

Möchtest Du andeuten, dass mein Rechenweg nicht nachvollziehbar ist?

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@jd 138
Mit welchem Argument soll die Einzigkeit der Lösung folgen ?

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Man kann die linke Seite als gestreckte Potenzfunktion auffassen, diese ist bijektiv.

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Variante:

$$6^{2x} + 6^{2x-3}=217$$
$$6^{2x} +\frac{ 6^{2x}}{6^3}=217$$
$$6^3 \cdot 6^{2x} +6^{2x}=217 \cdot 6^3$$
$$(6^3+1) \cdot 6^{2x} =217 \cdot 6^3$$
$$217 \cdot 6^{2x} =217 \cdot 6^3$$
$$6^{2x} = 6^3$$

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@pleindespoir:

$$\begin{aligned} 6^{2x} + 6^{2x-3} &= 217 \\\\ 6^{2x}\cdot\left(1 + 6^{-3}\right) &= 217 \\\\ 6^{2x}\cdot\frac{217}{216} &= 217 \\\\ 6^{2x} &= 216 \\\\ 6^{2x} &= 6^3 \\\\ 2x &= 3 \\\\ x &= 1.5 \end{aligned}$$Diese Rechnung folgt der Strategie, zunächst so umzuformen, dass die Variable $x$ nur noch an einer Stelle der Gleichung vorkommt. Dann wird zusammengefasst und aufgelöst. Bei Deinen Umformungen ist mir die Strategie nicht klar.

Answer 2

6^2x + 6^2x-3 = 217
6^2x + 6^2x / 6³ = 217
[ 216 *6^2x +  6^2x ] / 216 = 217
217 * 6^2x = 217 * 216
6^2x = 216
6^2x = 6³
2x = 3
x = 1.5

Probe
6^2*1.5 + 6^2*1.5-3 = 217
216 + 6⁰ = 217
216 + 1 = 217

Answer 3

2xln 6 +(2x-3) ln 6 = ln 217

3,58 x + 3,58x - 5,37  =  5,38

                     7,16 x       = 10,75 

                              x       = 1,5    

Comments

Wie kommt denn die erste Zeile zu Stande?

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Fehlerhinweis
Deine Umformung
6^2x + 6^2x-3 = 217   | ln ( )
ln(6^2x)  + ln(6^2x-3 ) = ln ( 217 )
stimmt leider nicht

Richtig
6^2x + 6^2x-3 = 217 |  ln ( )
ln ( 6^2x  + 6^2x-3 ) = ln ( 217 )

Answer 4

brauche hilfe beim lösen der gleichung

6^2x + 6^2x-3=217

Hi, es ist doch

$$217 = 216+1 = 6^3 + 6^0 = 6^{2\cdot 1.5} + 6^{2\cdot 1.5 - 3}$$

und damit $x=1.5$.

Und das muss auch die einzige Lösung sein.