Schreiben Sie die Permutation (12)(34) aus S4 als Produkt von zwei 3-Zyklen auf. Und…

Question

(a) Schreiben Sie die Permutation (1 2)(3 4) aus S₄ als Produkt von zwei 3-Zyklen auf.

(b) Schreiben Sie die Permutation (1 2 3 4 5) aus S₅ als Produkt von 3-Zyklen auf.

Für diese Aufgabe siehe folgende Definition:

Definition 8.1 .1 Eine Permutation \( \sigma \in S_{n} \) heißt \( k \) -Zyklus, wenn verschiedene Zahlen \( i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{k} \in\{1, \ldots, n\} \) existieren, so dass
$$ \begin{aligned} \sigma\left(i_{j}\right) &=i_{j+1} \text { für } 1 \leqslant j<k \\ \sigma\left(i_{k}\right) &=i_{1} \quad \text { und } \\ \sigma(x) &=x \quad \text { für alle } x \in\{1,2, \ldots, n\} \backslash\left\{i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{k}\right\} \end{aligned} $$
Schreibweise: \( \sigma=\left(i_{1} i_{2} \ldots i_{k}\right) . \) Die Zahl \( k \) heißt die Länge von \( \sigma \)
Bemerkung. Es ist klar, dass \( \left(i_{1} i_{2} \ldots i_{k}\right)=\left(i_{2} i_{3} \ldots i_{k} i_{1}\right)=\cdots=\left(i_{k} i_{1} i_{2} \ldots i_{k-1}\right) \) ist.

Answer 1

a) (12)(34)=(123)(234)

b) (12345)= (354)(413)(543)(124)

Answer 2

Ich hätte bezogen auf die Indizes

a) für (12)(34) = (123)(314)       , Bedeutung meines Produkts: zuerst (123) dann (314) . Ob ihr diese Reihenfolge 'zuerst' - 'dann' benutzt, weiss ich allerdings nicht.

b) für (12345) = (123)(145)