Polynomielle Gleichung mit komplexen Zahlen als Punkte graphisch darstellen. z^2 = i (z+1)^2 = i

Question

wie kann ich polynomielle Gleichung von komplexen Zahlen wie

z^2 = i

(z+1)^2 = i

als Punkt in Graphen darstellen?

(Lösung besagt, dass für jede Gleichung man 2 Punkte im Graph sein muss aber ich habe keine Ahnung wie man das jetzt bestimmen sollte)

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E2+%3D+i

Wolframalpha macht dir die gewünschten Zeichnungen in der komplexen Zahlenebene.

Du kannst sie mit den berechneten Lösungen vergleichen und findest allenfalls über den Graphen noch den Weg zur zweiten Lösung.

Answer 1

Es gibt zwei Möglichkeiten, schreibe \( z = a+ib \) und berechne \( z^2 = a^2 - b^2 + 2iab \) und vergleiche Real- und Imaginärteil der Gleichung \(  z^2 = i \)
Das ergibt die beiden Gleichungen \( a^2 - b^2 = \) und \( 2ab = 1 \)

oder Du schreibst \( z = r e^{i\varphi} \) mit \( r \ge 0 \) und löst dann die Gleichung \( r^2 e^{2i\varphi} = i \) Dann bekommt man \( r = 1 \) durch Betragsbildung und \( \varphi = \frac{\pi}{4} \) und \( \varphi = \frac{5\pi}{4} \)
Unter Verwendung von \( e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) \) erhält man die gleiche Lösung wie bei der ersten Methode.

Die zweite Aufgabe geht genauso.

Answer 2

z = a + b·i

z^2 = (a + b·i)^2 = a^2 - b^2 + 2·a·b·i = i

a^2 - b^2 = 0

2·a·b = 1

--> a = b = ± √(1/2)

Geometrisch ist sind das die Schnittpunkte des Einheitskreises um den Ursprung mit der 1. Winkelhalbierenden im Koordinatensystem.

Answer 3

Hi, es ist zum Beispiel
$$ z^2=\text{i} \quad\Leftrightarrow\quad z = \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } + \frac{\sqrt { 2 } }{ 2 } \cdot\text{i} \quad\text{oder}\quad z = -\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } - \frac{\sqrt { 2 } }{ 2 } \cdot\text{i}. $$