Gegen welchen Wert konvergiert diese unendliche Summe mit Gamma? ∑_(n=0..∞) Γ(-1/2 ( 2n+1 )) =?

Question

∑_n=0..∞  Γ(-1/2 ( 2n+1 )) = ?

Comments

Benutze doch den Formeleditior zur Darstellung von Summen.

Soll  Γ eine Gaußklammer sein?

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Vermutlich ist mit $\Gamma$ die Gammafunktion gemeint.

Answer 1

$$\sum_{n=0}^\infty\Gamma(-n-1/2)=-2\Gamma(1/2)\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{2^n}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}$$

Es ist $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$. Die verbleibende Summe soll angeblich $\frac{\sqrt{\pi}}{2e}\mathop{\mathrm{ erfi}}1$ sein. Musst Du selber schauen, wie man da draufkommt.

Comments

Mit der Dawson-Funktion $$D_+(x):=e^{-x^2}\int_0^x e^{t^2}\,dt=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{2^n}{(2n+1)!!}x^{2n+1}$$ kann man das Ergebnis direkt als $$\sum_{n=0}^\infty\Gamma(-n-1/2)=-2\sqrt{\pi}D_+(1)$$ schreiben. Schoener wird's nicht mehr.

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Prima!

Finde das schon ganz schön. ;)

Neue Aussagen über die Verteilung der Primzahlen stehen in Aussicht . :)

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Die Verteilung ist schon bekannt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz  

über die Li - Funktion.