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Hi Guys,

 

Ich habe eine Aufgab für euch:

 

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass Γ+k ({0,1}) = {0,1,.......,2k } für alle k∈ℕ gilt.

 

Danke im Voraus.

 

Nachtrag: Definiton:

Es sei f: An → A eine n-stellige Funktion(Operation).Dann sind die Abbildungen Γƒ : P(A) →P(A) sowie

Γƒ: P(A) →P(A) für alle k∈ℕ wie folgt definiert (für B⊆A):

Γ0ƒ(B) = def B

Γkf(B) = def Γƒk-1 (B) ∪ {ƒ(a1,....,an)|a1,.....,an∈Γƒk-1(B)}


Die Menge Γf (B) heißt Abschluss von B unter ƒ

Gefragt von
Welches Gamma ist hier gemeint?

http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion scheint auf den ersten Blick nicht zu passen.

Grössere Auswahl an Gammasymbolen http://de.wikipedia.org/wiki/Gamma

@Anonym: Bitte wählen.

Definiton:

 

Es sei f: An → A eine n-stellige Funktion(Operation).Dann sind die Abbildungen Γƒ : P(A) →P(A) sowie

Γƒk : P(A) →P(A) für alle k∈ℕ wie folgt definiert (für B⊆A):

Γ0ƒ(B) = def B

Γkf(B) = def Γƒk-1 (B) ∪ {ƒ(a1,....,an)|a1,.....,an∈Γƒk-1(B)}


 

Die Menge Γf (B) heißt Abschluss von B unter ƒ

1 Antwort

+3 Daumen
 
Beste Antwort

Behauptung Γ+k ({0,1}) = {0,1,.......,2k } für alle k∈ℕ

P(A) dürfte die Potenzmenge von A sein.

+ ist eine zweistellige Operation (Funktion)

Verankerung: k=1

Γ+0(B) = def B = {0,1}

Γ+^1(B) = Γ+^0(B) u {0,1,2} = {0,1,2^1}   

 

Induktionsschritt k----> k+1 (Pluszeichen gezählt: Es kommt eines dazu)

Behauptung Γ+^{k+1} ({0,1}) = {0,1,.......,2^{k+1} } für alle k∈ℕ gilt.

 

Beweis

Γ+k+1(B) =  Γ+k (B) ∪ {+(a1,a2)|a1,a2∈Γ+k(B)}
Als Summe von 2 Elementen von Γƒ^k(B) kommt nach Induktionsvoraussetzung maximal 2^k+2^k= 2*2^k = 2^{k+1}  raus. Das ist das verlangte grösste Element der zweiten Menge. Vereinigt mit allen möglichen Summen auch von 2 kleineren Elementen erreicht die Resultatmenge alle Zahlen von 0 bis 2^{k+1}. Also:

Γ+^{k+1} (B) = {0,1,2,3,…2^{k+1}} qed Induktionsschritt.

 

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Danke für die Lösung!

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