Komplexe Zahlen. Gleichung z^3=-1/27 mit (1+i)^n=(wurzel2 e^{ipi/4})^n lösen?

Question

2 Antworten

Ein anderes Problem?

Grosserloewe · Answer 1 · 2015-08-31T17:04:35+0000

ich habe mal b gerechnet , es ist immer das gleiche Schema .

1. Betrag ausrechnen

2.Winkel ausrechnen

3.n bestimmen

4.alles in die Formel einsetzen. Bild Mathematik

mathef · Answer 2 · 2015-08-31T17:15:24+0000

letztlich geht es ja bei allen Aufgaben um die 3. Wurzel.

Dazu schreibst du das Ergebnis von z^3 am besten in der Form

r* ((cos(phi) + i*sin(phi)) bei der 1. Aufgabe also

z^3 = 1/27 * ( cos(180°) + i * sin(180° ) )

Dann ist ein Wert von z immer 3.Wurzel(r) * ( cos ( phi/3 ) + i * sin ( phi/3 ) )

also z = 1/3 * ( cos(60°) + i* sin(60°) )

man hätte aber auch

z^3 = 1/27 * ( cos(180°+360°) + i * sin(180°+360° ) ) sagen können, also

z^3 = 1/27 * ( cos(540°) + i * sin(540° ) ) dann hast du

z = 1/3 * ( cos(180°) + i* sin(180°) ) = -1/3 also sogar reell

oder aber

z^3 = 1/27 * ( cos(180°+2*360°) + i * sin(180°+2*360° ) )

= z^3 = 1/27 * ( cos(900°) + i * sin(900° ) )

also

z = 1/3 * ( cos(300°) + i* sin(300°) )

noch mal 360 dazu bringt nichts neues, dann entsteht das 1. Ergebnis

wieder. Es gibt also immer 3 verschieden 3. Wurzeln.

Meistens nimmt man statt Gradzahlen allerdings Bogenmaß.

Bei der 2. so ähnlich r=wurzel(8) und

also z^3 = √(8) * ( -0,5*√(2) + o,5*√(2) )

= √(8) * ( cos(135°) + i*sin(135°) )

also das erste z

z = √(2) * ( cos(45°) + i * sin(45° ) )

etc.