fourrier koeffizient a_1 von f(x) = sin^2(x)

Question

wie kann ich ohne viel Rechenarbeit den Fourierkoeffizienten a_1 von f(x) = sin^2(x) auf [-pi, pi] finden?

a_1 = 2/pi ∫^pi₀ sin^2(x)cos(x) dx = 2/pi ∫^pi₀ (1-cos^2(x))cos(x) dx = 2/pi ∫^pi₀ cos(x) - cos^3(x) dx = 2/pi ∫^pi₀ -cos^3(x) dx

Und wie komme ich hier weiter? Gibt es da irgendeinen Trick?

Im internet steht man kann sin^2(x) direkt zu der Fourrierreihe 1/2 - 1/2 cos(2x) umwandeln, da könnte man dann ja a_0 und a_1 ablesen, doch ich weiß nicht wie man da drauf kommen kann.

Answer 1

Hi,
es gilt: sin(x)^2 = (1 - cos(2*x))/2

Du könntest es so als Fourierreihe schreiben

$$ f\left( x \right)\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \quad +\quad \sum _{ n=2 }^{ 2 }{ -\frac { 1 }{ 2 } \cos ^{  }{ (nx) }  }  $$

Es existiert also nur der Fourierkoeffizient für a₂

LG

Comments

In dem zweiten Summanden (also die Summe) das -1/2 ist dann wohl a_2.

Ist dann 1 = a_0? Dann ist a_1 implizit gegeben mit 0?

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Sorry konnte momentan nicht antworten, irgendwas spinnt mit dem Server...

Hast natürlich Recht mit den Fourierkoeffizienten, hatte die Definition nicht mehr ganz im Kopf.^^

a_0 = 1

a_1 = 0 (und alle anderen auch außer a_0 und a_2)

a_2 = -1/2