Integralrechnung mit Polarkoordinaten

Question

benötige bitte eure Hilfe.

Es geht um folgende Aufgabe:

Betrachten Sie im R^2 den Kreisring

Kr = 1<= x^2 + y^2 <= 2

und berechnen Sie das Integral

$$\int _{ KR }^{  }{ \frac { \cos { (\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }  }  }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }  } d(x,y) } $$

Da muss man ja die Polarkoordinaten einsetzen.

Dann kommt da folgendes raus.

$$\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \int _{ \sqrt { 1 }  }^{ \sqrt { 2 }  }{ \frac { cos(r) }{ r } r\quad dr\quad d\varphi  }  } $$

Zu meiner Frage:

Woher kommt das zweite "r" her?? Ich setzte doch für "x^2 + y^2" "r" ein.

Bitte um Erklärung

Schon mal danke im Voraus

Answer 1

Hi,

kurze Antwort: das \(r\) vor dem \(dr\) ist die Funktionaldeterminante der Transformation auf Polarkoordinaten. Sie muss bei der Substitution also berücksichtigt werden. Denk dran, dass du bei Polakoordinaten nicht mehr über infinitesimale Quadervolumen rechnest.

Um es mal platt auszudrücken: Bei Integralen mit einer Variablen hast du ja bei der Durchführung der Substitution auch nicht einfach nur Terme ersetzt.

Wenn du eine längere Antwort möchtest schau dir Erklärungen zum Transformationssatz an. Ein sehr wichtiges Hilfsmittel in der mehrdimensionalen Analysis. Ist nicht verkehrt wenn man versteht warum eigentlich der Koordinatenwechsel funktioniert.

Gruß

Answer 2

http://www.ammu.at/archiv/16/16_2_10.gif

Mit dem Bild kann man ad hoc geometrisch einsehen, dass \(dA=r\,dr\,d\phi\) gilt.

Answer 3

Anschaulich betrachtet wird ein in kartesischen Koordinaten rechteckiges kleines Flächenelement dA = dx*dy

in Polarkoordinaten durch ein Flächenelement  dA = r * d\phi  * dr mit gebogenen Kanten ersetzt, die aber so klein sind, dass man sie als gerade annehmen kann.

vgl. Bild:

Answer 4

Rein anschaulich hast du doch



    dx  dy  =  r  dr  dß   (  1  )




    dr und r dß sind die Seiten des Rechteckselements.  Du das kann man aber auch beweisen, wenn du dich auf die ===> Grassmannalgebra einlässt - praktisch wie ein Kreuzprodukt oder eine Determinante entsteht.



       x  =  r  cos (  ß  )      (  2a  )

       dx  =  dr  cos  (  ß  )  -  r  sin  (  ß  )  dß    (  2b  )



       und analog


      dy  =  dr  sin  (  ß  )  +  r  cos  (  ß  )  dß     (  2c  )



    Der Witz:   ( 1 )  ist kein skalares Produkt, sondern ein ===> Wedge-oder Keilprodukt zweier vektoriellen Größen dx und dy .




     dx  ^  dy  =  [  dr  cos  (  ß  )  -  r  sin  (  ß  )  dß  ]  ^  [  dr  sin  (  ß  )  +  r  cos  (  ß  )  dß  ]  =  (  3a  )
   
                    =  sin  (  ß  )  cos  (  ß  )  dr  ^  dr  +  r  cos  ²  (  ß  )  dr  ^  dß  -  r  sin  ²  (  ß  )  dß  ^  dr  -  r  ²  sin  (  ß  )  cos  (  ß  )  dß  ^  dß     (  3b  )



    Wie du das vom Kreuzprodukt kennst, ist diese 2-Form nilpotent



         dr  ^  dr =  dß  ^  dß  =  0     (  4a  )


   
     und antimetrisch



      dß  ^  dr  =  -  dr  ^  dß       (  4b  )



     Wir fassen ( 3b ) zusammen



       dx  ^  dy  =  r  [  cos  ²  (  ß  )  +  sin  ²  (  ß  )  ]  dr  ^  dß  =  r  dr  ^  dß    (  5  )

Comments

Jetzt hab ich's doch vergessen; kleine Hausaufgabe: Jacobideterminante für Kugelkoordinaten; viel Spaß ...