Differentialgleichung mit Polarkoordinaten?

Question

hey,

könntet ihr mir vielleicht bei dieser Analysis Aufgabe helfen?:

In 5 km sehen drei Polizisten einen Dieb. Plötzlich ziehen Wolken auf und der erste Polistist läuft geradewegs davon. Die anderen Polizisten laufen mit vierfacher Geschwindigkeit zu dem Punkt, an dem der Dieb anfänglich gesehen wurde. Nachdem die beiden 4km zurückgelegt haben berechnet einer von ihnen neu, wie sie nun zu laufen haben, um den Dieb zu fassen, dabei kommt er auf folgende Gleichung:

$$4(f(\phi)-1) =\int_{0}^\phi\sqrt{f(\theta)^2+f^{'}(\theta)^2}d\theta$$

Jetzt soll man beschreiben, wie er darauf gekommen ist. Meine Ansätze sind Bissher, dass (f, \phi) wohl Polarkoordinaten sind und das ganze hat die verdächtige Form des Satzes von Phytagoras. Aber fällt euch vielleicht etwas zum $\theta$ auf?

Außerdem sollen wir die Bahnkurve bestimmen, damit die Polizisten den Dieb sicher fangen. Das habe ich ehrlich gesagt schon halb aufgegeben, weil ich leider nicht weiß, was das mit der Formel von oben zu tun haben soll

Ich wre super danke über jede Art von Hilfe. LG

Comments

Fehlen da nicht Infos, wie der Dieb sich verhält? Was soll die Info, dass ein Polizist davonlaufen?

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Hallo

in deiner Geschichte fehlt etwas. die P haben darin keine Ahnung wie schnell der Dieb sich bewegt, und in welcher Richtung. die 4 fache Geschwindigkeit heisst 4 mal so schnell wie der Dieb?

die Gleichung kann man differenzieren und hat dann eine einfache Dgl.

Gruß lul

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Hey, vielen dank für die Antwort. Der Polizist läuft geradewegs zum Dieb und ja, die beiden Polizisten bewegen sich 4-mal so schnell, wie der Dieb:)

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eine Kleinigkeit vielleicht: setzt man \(\phi=0\) so folgt daraus \(f(0)=1\)

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du sagst:"Der Polizist läuft geradewegs zum Dieb, aber wie läuft der? Geradeaus? auf einem Kreis zig zag oder?

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... aber wie läuft der? Geradeaus? auf einem Kreis zig zag oder?

ich vermute, dass man das beantworten kann, nachdem man \(f(\theta)\) berechnet hat. Bzw. auch zusammen mit der Berechnung von \(f(\theta)\).

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Wie wäre es denn mal mit dem vollständigen Aufgabentext?

Answer 1

Wenn man die Gleichung $$ 4(f(\phi) - 1) = \int_0^\phi \sqrt{f(\theta)^2 + f'(\theta)^2 } d\theta $$ differenziert, bekommt man die Dgl.

$$  4 f'(\phi) = \sqrt{ f(\phi)^2 + f'(\phi)^2 } $$ mit der Lösung $$ f(\phi) = e^{ \frac{1} {\sqrt{15} } \phi } $$ Das ist eine logarithmische Spirale.

Die Lösung genügt auch der Anfangsbedingung \( f(0) = 1 \)

Wenn man \( f( \phi) \) als den Abstand der Polizisten vom Ursprung interpretiert, bekommt man folgende Bahnkurven, für unterschiedliche Geschwindigkeiten

Comments

Wahrscheinlich ist der Weg der Polizisten andersrum und in Punkt C haben die Polizisten den Dieb nach den 4 Kilometern entdeckt. Denn der läuft ja 4-mal langsamer als die Polizei.

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Woooow, vielen lieben Dank, das hilft wirklich ungemein!!!!

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Jetzt soll man beschreiben, wie er darauf gekommen ist.

Das verstehe ich noch nicht?