Nullstellen mithilfe des Horner Schemas berechnen

Question

Das Horner Schema als Ersatz für die Polynomdivision kann ich.

Ich komme nur bei dieser Aufgabe einfach nicht auf das richtige Ergebnis, bitte um Hilfe !

Aufgabenstellung:

Die folgenden Polynomfunktionen besitzen mindestens zwei ganzzahlige Nullstellen.

Berechnen Sie unter Verwendung des Horner-Schemas sämtliche Nullstellen der Funktion und geben Sie die Produktform an.

y=x⁴-x³-x²-x-2

Musterlösung:

y=(x+1)(x-2)(x²+1)

Answer 1

f(x) = x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 = 0

Gefundene Nullstelle bei 2

1	-1	-1	-1	-2
0	2	2	2	2
1	1	1	1	0

Gefundene Nullstelle bei -1

1	1	1	1
0	-1	0	-1
1	0	1	0

Restpolynom

x^2 + 1 = 0

Hier gibt es keine Weiteren Lösungen

Daher ist die Faktorzerlegung

f(x) = x^4 - x^3 - x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)(x^2 + 1)

Comments

Also die 2 am Anfang muss ich erst erraten und dann überprüfen mit dem ersten Durchgang "hornern".
Nun kommt 0 heraus und 2 ist tatsächlich eine Nullstelle.
Warum "horner" ich dann mit -1 weiter, errate ich die wieder?
und wenn ich -1 auch errate, warum beginnt das Horner Schema dann nicht von vorn,
sondern knüpft am vorherigen an ?

---

Man eliminiert aus dem Gegebenen Polynom alle bekannten Nullstellen. Wenn ich 2 Nullstellen eleminieren kann reduziert sich der Grad um 2.

---

Aber die beiden Nullstellen errate ich einfach nur, das ist schon richtig oder?

---

Ja das ist richtig. Wobei erraten natürlich nicht ganz zutreffend ist. Man probiert eher begründet.

---

Ok, aber wenn ich das Horner Schema mit den beiden Nullstellen durchführe kommt ja 0 heraus,

sprich kein Rest.

Wo bekomme ich also x²+1 her ?

Wenn ich den Grad um 2 reduziere aufgrund der gefundenen Nullstellen komme ich trotzdem nicht

auf den genannten Rest.