Kreismittelpunkt berechnen

Question

Ich habe folgenden Kreis gegeben:

k : x²-8x+y²+6y=0

nun kenne ich die allgemeine Formel : (x-m₁)²+(y-m₂)²=r²

und ich weiß auch wie es weiter geht:

x² -8x +4² + y + 6y + 3² = 25     ---> Wie, Warum und woher kommen diese Zahlen???

(x-4)² + (y+3)² = 5²

M(4|-3), r =5

Comments

Du hast 2 Formeln die aber identisch sein sollen

0 = x² - 8x + y² + 6y
r^2 = (x-m₁)²+(y-m₂)² | ausmultiplizieren
--------------------------------------------------------
0    = x²   - 8x                             + y² + 6y
r^2 = x^2 - 2x * m1 + (m1)^2 + y^2 -  2y * m2 + (m2)^2

-8x = -2x*m1
m1 = 4
6y = -2y * m2
m2 = -3

M ( 4 | -3 )

r^2 = x^2 - 2x * 4 + (4)^2 + y^2 -  2y * (-3) + (-3)^2

r^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 +  6y + 9
0    = x²   - 8x          + y² + 6y  | abziehen
-----------------------------------------------------
r^2 = 16 + 9
r = 5

---

Es geht auch einfacher / klarer
0 = x² - 8x + y² + 6y
überführen in
r² = (x-m₁)²+(y-m₂)² 

0 = x² - 8x + y² + 6y  | quadratische Ergänzung
0 = x² - 8x + 4^2 - 4^2 + y² + 6y + 3^2 - 3^2
0 = ( x² - 8x + 4^2 ) - 4^2 + ( y² + 6y + 3^2 ) - 3^2
0 = ( x - 4 )^2 + ( y + 3 )^2 - 16 - 9
25 =  ( x - 4 )^2 + ( y - (-3) )^2

m1 = 4
m2 = -3
r^2 = 25

---

okay, suer erklärt ! danke vielmals !!!

aber eine Frage bleibt da noch ... :

0 = x² - 8x + y² + 6y  | quadratische Ergänzung
0 = x² - 8x + 4² - 4² + y² + 6y + 3² - 3²
0 = ( x² - 8x + 4² ) - 4² + ( y² + 6y + 3² ) - 3²
0 = ( x - 4 )² + ( y + 3 )² - 16 - 9                 <<<<<<<<Hier ist m₂ also 3 positiv
25 =  ( x - 4 )² + ( y - (-3) )²            <<<<<<<<<<<<<Warum hier negativ ?

---

0 = ( x - 4 )² + ( y + 3 )² - 16 - 9                 <<<<<<<<Hier ist m₂ also 3 positiv
25 =  ( x - 4 )² + ( y - (-3) )²            <<<<<<<<<<<<<Warum hier negativ ?

( y + 3 ) wurde überführt in ( y - ( -3 ) ).
Weil es heißt
r² = (x-m₁)² + ( y - m₂ )²

Also ist m2 = -3

Answer 1

4² und 3² sind "quadratische Ergänzungen", die man auf beiden Seiten der Gleichung addiert,

damit links binomische Terme entstehen (man findet die 4 und die 3 als Hälfte des Faktors bei x bzw. y)

Die 25 ist einfach 4² + 3² auf der rechten Seite addiert.