Biquadratische Gleichung: 36x^4 - 25x^2 + 4 = 0

Question

36x⁴ - 25x² + 4 = 0

ich verstehe nicht wie ich die gleichung lösen soll mit der 36 vorne, kann mir jemand bitte helfen?

Answer 1

Beide Seiten durch 36 teilen und anschließend substituieren ;)

Answer 2

36 x⁴ - 25 x² + 4 = 0 | : 36

x⁴ - 25/36 x² + 1/9 = 0

Jetzt setzen wir z = x² , um eine quadratische Gleichung zu erhalten:

z² - 25/36 z + 1/9 = 0

....

z = 4/9  oder z= 1/4

x² = 4/9 oder x² = 1/4

x = 2/3 oder x = -2/3 oder x = 1/2 oder x = -1/2

Comments

muss ich die binomische formel nicht benutzen? also was kommt nach diesem schritt: z² - 25/36 z + 1/9 = 0

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......   =    quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen!

Habe ich dir zugetraut :-)

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wir haben dasss bis jetzt nie mit pq.Formel gelöst... gibt es noch einen anderen weg? :S

Answer 3

Substituiere

z=x^2

---------->

36z^2 -25 z+4=0

z^2 -25/36z +1/9=0

Lösung durch pq- Formel:

x_1= -2/3

x_2=-1/2

x_3=1/2

x_4=2/3

Comments

was kommt nach diesem schritt: z² - 25/36z + 1/9 = 0

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z1_2= 25/72 +-sqrt(625/5184 -1/9)

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ohh da verstehe ich gar nicht mehr :D

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Hier ist diese pq- Formel beschrieben:

https://www.matheretter.de/wiki/quadratischegleichung#pq

Answer 4

Normalform




      x  ^  4  -  p  x  ²  +  q  =  0   (  1a  )

      p  =  25/36  >  0  ;  q  =  1/9  >  0    (  1b  )



    Aus der cartesischen Vorzeichenregel ergibt sich für zwei reelle Wurzelpärchen die notwendige Bedingung p > 0 ; q > 0 . Dies ist Teil meiner Umfang reichen Kategorienlehre über biquadratische Gleichungen.
    Ihr macht doch jetzt immer diese z-Substitution



     z  :=  x  ²      (  2a  )

    z  ²  -  p  z  +  q  =  0   (  2b  )



    z nenne ich die Wurzel von ( 2b ) und x die Wurzelwurzel ( W W )  von ( 1a )  Ich gehe nicht über die gewöhnliche Mitternachtsformel, wo du quadrieren musst ( p/2 ) ²  , das wären 72 ² Statt dessen ziehe ich gleich am Anfang die Wurzel und dann nochmal die W W . Mein Ansatz, Vieta das geschmähte Stiefkind



      p  =  z1  +  z2   =   (  3a  )

          =  x1  ²  +  x2  ²  =  25/36    (  3b  )



     In ( 3b ) nehme ich die Substitution wieder zurück.  Jetzt Vieta q



        q  =  z1  z2  =  1/9  =:  u  ²    (  4a  )

         u  =  x1  x2  =  1/3     (  4b  )


   Genau dasmeine ich; ich hab noch gar nicht richtig angefangen und in ( 4b ) bereits meine erste Wurzel gezogen. Jetzt musst du etwas sehen; fällt dir auf, dass ( 4b ) die quadratische Ergänzung von ( 3b ) ist?




    (  x2  +  x1  )  ²  =  p  +  2  u  =  25/36  +  2/3  =  49/36    (  5a  )

       x2  +  x1  =  7/6    (  5b  )

   (  x2  -  x1  )  ²  =  p  -  2  u  =  25/36  -  2/3  =  1/36    (  5c  )

       x2  -  x1  =  1/6    (  5d  )


   Jetzt musst du nur noch das LGS  ( 5bd ) lösen.