Was ist eine gebrochen-rationale Funktion? Gibt es verschiedene Definitionen?

Question

gegeben sei folgendes Beispiel:

f(x)=(10*x-5)/8

Ich bin der Meinung, dass es sich um eine lineare Funktion handelt, weil 8 kein Polynom ist. Meine Lehrerin behauptet aber, dass es sich um eine gebrochen-rationale Funktion handelt, mit der Begründung, dass man eine gebrochen-rationale Funktion auch umfassender definieren kann.

Was genau ist jetzt eine gebrochen-rationale Funktion?

Danke für alle Antworten schon einmal im Voraus.

Answer 1

Ihr habt beide Recht. Das eine schließt das andere nicht aus.

\( g(x) = 8 \)  ist zumindest in der Schulmathematik eine lineare Funktion (weil der Graph eine Gerade ist).

Solche Funktionen sind ein Spezialfall von ganzrationalen Funktionen (es ist eine ganzrationale Funktionen vom Grad 0).

Ebenso ist \( h(x) = 10x-5 \) ein Spezialfall von ganzrationalen Funktionen (es ist eine ganzrationale Funktionen vom Grad 1).

Der Quotient zweier ganzrationaler Funktionen ist eine gebrochen rationale Funktion.

In dem gegebenen Fall schränkt die Formulierung als Quotient \( f(x)=\frac{10x-5}{8} \) den Definitionsbereich nicht ein gegenüber der Formulierung \( f(x)=\frac{10}{8}x+\frac{5}{8} \).

Im Falle \( f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \) würde es anders aussehen. Der Graph ist keine Gerade, weil er eine Lücke bei \( x=1 \) hat. Bis  auf  diese Stelle stimmt er aber mit der Funktion \( p(x) = x+1 \) überein.

Answer 2

f(x) = (10·x - 5)/8

Eine gebrochen-rationale Funktion hat sowohl im Zähler als auch im Nenner eine ganzrationale Funktion.

f(x) = u(x) / v(x)

mit 

u(x) = 10·x - 5

und

v(x) = 8

Sowohl u(x) als aucch v(x) sind ganzrationale Funktionen. Damit kann man f(x) auch als gebochen-rationale-Funktion sehen.

Es ist allerdings auch selber eine ganzrationale Funktion, weil ich es schreiben kann als

f(x) = 1.25·x - 0.625