Warum ist f(x)= e^x = f'(x) =(e^x)'?

Question

Die Frage steht in dem Fragetitel.

Was ist an der Euler'schen Zahl so anders, dass sie in der abgeleiteten Form bestehen bleibt? 

Wir haben folgende "Belege" betrachtet:

Mir ist klar, dass das Einsetzen der Euler'sche Zahl in diesem Differentialquotient als Ergebnis etwas in dieser Art herausbekommt:

1,000...* e 

also ist f(x) =  f'(x)

Doch wie ist man darauf gekommen? Durch Approximation? 

Gibt es noch andere Zahlen mit ähnlichen Folgen und hat die Euler'sche Zahl noch andere Besonderheiten?

Gruß Luis

Answer 1

Sei f(x) = a^x dann soll gelten

f'(x) = f(x) bzw. auch f'(0) = f(0)

LIM h --> 0

(a^{0+h} - a^0) / h = a^0

Auflösen nach a

(a^h - 1) / h = 1

(a^h - 1) / h = 1

a^h - 1 = h

a^h = 1 + h

a = (1 + h)^{1/h}

sei n = 1/h und lim n --> ∞

a = (1 + 1/n)^{n}

Grenzwert bilden ergibt als Grenzwert e :)

a = e

Comments

In der zweiten Zeile soll doch bestimmt "f'(x) = f(x) bzw. auch f'(0) = 1" stehen.

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Dort sollte f'(0) = f(0) stehen.

Danke für den Hinweis.