Um Extrempunkte zu berechnen, benötigt man zunächst mal die ersten beiden Ableitungen der Funktion.
f'(x) = 3x² + x - 63/16
f''(x) = 6x + 1
Im nächsten Schritt, der notwendige Bedingung, berechnet man nun die Nullstellen der ersten Ableitung. Dies sind die Extremstellen von f.
0 = 3x² + x - 63/16 | ÷ 3
0 = x² + 1/3 x - 21/16 | pq-Formel
x ≈ 0,99 ∨ x ≈ -1,32
Dann der nächste Schritt, die hinreichende Bedingung: Man setzt die Extremstellen in die zweite Ableitung für x ein. Ist dieser Wert dann = 0, ist es kein Extrempunkt, sondern nur ein Sattelpunkt. Ist er < 0, handelt es sich um einen Hochpunkt, und ist er > 0, um einen Tiefpunkt.
f''(0,99) = 6 * 0,99 + 1 = 6,94 > 0 → Tiefpunkt
f''(-1,32) = 6 * (-1,32) + 1 = -6,92 < 0 → Hochpunkt
Als letzten Schritt setzt man die Extremstellen noch in die Ursprungsfunktion f ein, um die y-Koordinaten herauszufinden.
f(0,99) = 0,99³ + 1/2 * 0,99² - 63/16 * 0,99 ≈ -2,44
f(-1,32) = (-1,32)³ + 1/2 * (-1,32)² - 63/16 * (-1,32) ≈ 3,77
Damit hat man bewiesen, dass die Extrempunkte der Funktion etwa T(0,99|-2,44) und H(-1,32|3,77) sind. :)
