Funktionenschar keine Hochpunkte? fa(x)= x4 -ax2

Question

vielleicht kann ja einer von euch mir irgendwie helfen :S.

Ich möchte von euch nicht die Lösung, ihr sollt mir nur bitte sagen wie ich vorgehen muss! :)

Gegeben ist der Funktionenschar fa mit fa(x)= x⁴ -ax²

Jetzt die Aufgabe: Zeigen sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktionenschar fur a kleiner gleich null keinen Hochpunkt haben.

Ich habe schon die Extrempunkte ausgerechnet, die liegen bei x1= 0

x2/3= +- Wurzel -1/4 ax

Sorry ich weiß weder wie das Wurzel noch wie das +- zeichen auf dem Pc geht :S

Liebe Grüße Christian

Answer 1

f(x) = x⁴ - ax²

f '(x) = 4x³ -2ax = x • (4x² -2a)

f ''(x) = 8x² - 2a

f ' hat für a<0 nur die Nullstelle x = 0

f '' (0) = -2a >0 [!] da a<0 -> Tiefpunkt

-> kein Hochpunkt

Comments

Hallo Wolfgang,

Fehlerhinweis

f '(x) = 4x³ -2ax

f ''(x) = 8x² - 2a

richtig
f ''(x) = 12x² - 2a

Answer 2

du musst einfach schauen, ob es Stellen gibt, die die Bedingungen eines Hochpunktes erfüllen. Die Bedingungen sind

$$f_a'(x)=0 \quad und \quad f_a''(x_0) < 0 \ .$$

Deine erste Extrem*stelle* (nicht Punkt) liegt bei x=0, das stimmt. Die beiden anderen Stellen erkenne ich nicht ganz und es kommt auch ein "x" vor, was nicht sein kann. Richtig ist:

$$x_{2,3} = \pm \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}} \ .$$

Damit hast du 3 mögliche Stellen, an denen ein Hochpunkt vorliegen könnte. Jetzt musst du jede Stelle in die zweite Ableitung einsetzen und überprüfen, ob das Ergebnis (unter Berücksichtigung der Bedingung a≤0) kleiner als 0 ist. Wenn das in keinem Fall der Fall ist, besitzt die Funktion keinen Hochpunkt.