Gegeben sei die Funktionenschar \(f_a(x)=-ax^3+3x^2\)
Nullstellen:
\(-ax^3+3x^2=0\) Ausklammern von x^2 und dann Satz vom Nullprodukt:
\(x^2(3-ax)=0\)
1.)
\(x^2=0\) Hier ist eine doppelte Nullstelle → Extremum (Hier ja , bei anderen Funktionen muss man schauen)
2.)
\(3-ax=0\) → \(x= \frac{3}{a}\) mit \(a≠0 \)
Extrema:
\(f'_a(x)=-3ax^2+6x\)
\(-3ax^2+6x=0\) Ausklammern von x und dann Satz vom Nullprodukt:
\(x(6-3ax)=0\)
\(x_1=0\) \(f_a(0)=0\) Diese Nullstelle ist unabhängig von a.
\(x_2= \frac{2}{a} \) \(f_a(\frac{2}{a})=\frac{4}{a^2}(3-2)=\frac{4}{a^2}\)
Art der Extrema:
\(f''_a(x)=-6ax+6\)
1.)
\(f''_a(0)=6<0\) Minimum
2.)
\(f''_a(\frac{2}{a})=-6a(\frac{2}{a})+6=-6<0\) Maximum
Wendepunkte:
\(f''_a(x)=-6ax+6\)
\(-6ax+6=0\)
\(x=\frac{1}{a}\)
\(f_a(\frac{1}{a})=\frac{2}{a^2}\) (Ein Extranachweis über weitere Ableitungen ist nicht notwendig, da eine Funktion 3. Grades immer einen Wendepunkt hat.)
Zeichnen sie die Graphen von f1 und f2.
2) Wendenormalenschar:
Steigung der Wendetangente:
\(f'_a(\frac{1}{a})=\frac{3}{a}\)
Normalensteigung: \( m_N=-\frac{a}{3} \)
Punkt-Steigungsform einer Geraden:
\( \frac{y-\frac{2}{a^2}}{x-\frac{1}{a}}=-\frac{a}{3} \)
\( y=-\frac{a}{3} x+\frac{2}{a^2}+\frac{1}{3}\)
