Funktionenschar Oberstufe gebrochenrationale funktion/e-Funktion

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktionenschar f_b mit f_a(x) = (b*e^x)/(b-e^x) mit b ∈ ℝ.

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich.

b) Untersuchen Sie die Schar f_b in Abhängigkeit von x ∈ ℝ auf asymptotisches Verhalten.

c) Ordnen Sie den Rechts abgebildetes Graphen der Schar begründet die entsprechenden Parameter zu. (Wie funktioniert das im allgemeinen?)

Lösungsansätze:

a) An sich sind e-Funktionen mit ℝ definiert. Gebrochenrationale Funktionen dürfen keine 0 im Nenner haben. Dies ist mir bekannt, doch wie berechne ich jetzt die maximale Definitionsmenge bzw. wie komme ich mit den „Regeln“ die ich habe dahin...

b) Ich weiß was asymptotisches Verhalten(Im Prinzip doch eine gerade an die sich eine Funktion immer weiter nähert, doch nicht erreicht) an sich ist, doch ich weiß nicht genau was ich da jetzt untersuchen soll bzw. Wie...

c) (Ihr habt das Bild leider nicht vor Augen mit den 3 Funktionen, die abgebildet sind), aber...

...b = 0 liegt auf der x-Achse, weil der funktionswert immer 0 annimmt. Denn sobald der Zähler 0 ist, ist auch das Ergebnis 0.

...dann durch Desmos erkenne ich, dass die zweite abgebildete Funktion bei b = 1 liegt, doch ich weiß nicht genau wie ich das begründen soll. Ich sehe nur eine „normale“ e-Funktion, die auch im Nenner zu sehen ist. Kann man das so begründen?

...dann durch Desmos erneut erkenne ich, dass die dritte abgebildete Funktion bei b = -1 liegt, doch auch da weiß ich nicht genau wie ich das begründen soll. Da habe ich auch dieses Mal absolut kein Ansatz, da es absolut anders aussieht

Vielen Dank im Voraus!

Mit freundlichen Grüßen Manu

Answer 1

a)  wie du sagst: Nenner nicht 0, also schauen: Wann wäre er 0

                             b = e^x

für b ≤ 0 also niemals und für b>0  bei x = ln(b) .

b)  f_b(x) = (b*e^x)/(b-e^x)        Das a war wohl ein b ???

 Für x gegen unendlich geht e^x auch gegen unendlich und 1/e^x gegen 0.

Forme also um  f_b(x) =   b /  ( b/e^x -  1 ) . Da b/e^x gegen 0 geht, nähert

sich der Graph von f_b asymptotisch der Gerade mit der Gleichung y = -b ,

also eine waagerechte Asymptote.

Comments

a) könntest du mir das nochmal anders erklären, verdeutlichen.

b) also x gegen unendlich streben lassen und schauen was passiert vom Lösungsweg her. Richtig?

C) hast du mir vielleicht noch etwas zu c Zusagen?

Answer 2

a) b-e^x =0

e^x = b

x= lnb

-> D = R\{lnb}