Symmetrie zum Wendepunkt (1/0) nachweisen. f(x)= 1/4 (x3-3x2-9x+11) xER

Question

Hallo liebe Mathe Lounge !

Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/4 (x³-3x²-9x+11) xER

Weise die Symmetrie zum Wendepunkt (1/0) nach.

Ich vermute, dass die Punktsymmetrie nachgewiesen werden muss, also f(x)=-f(-x), aber ich bin mir nicht sicher. Außerdem kann der Wendepunkt doch mit der zweiten Ableitung ermittelt werden..?

Ich würde mich sehr über einen Lösungsweg freuen.

Vielen Dank schon im Voraus!

Comments

Was bedeutet das xER am Ende deiner Funktionsgleichung?

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x∈ℝ,

gibt an, aus welchen Zahlenbereich die x-Werte stammen. Die Definitionsmenge ist die Menge der reellen Zahlen. 

Funktionen sind ja Zuordnungen, die jedem Element der Definitionsmenge einen Funktionswert zuordnet. 

Answer 1

Sei g(x) eine Funktion. Die Funktion h(x) = g(x-p) + q ist aus g enstanden indem g um p nach rechts und q nach oben verschoben ist.

Verschiebe die Funktion f so, dass der Wendepunkt im Ursprung liegt. Dann kannst du die von  dir genannte Definition von Punktsymmetrie zum Ursprung f(-x)=-f(x) anwenden.

In der Schule wird oft nur dann von Punktsymmtrie gesprochen, wenn der Ursprung der Symmetriepunkt ist. Solche Funktionen heißen auch ungerade Funktionen. Der  Symmetriepunkt kann aber auch an einem anderen Punkt liegen, wie zum Beispiel hier bei (1|0). Dann ist f(-x)=-f(x) natürlich nicht mehr anwendbar.

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Danke. Wie löst man es denn dann mit der zweiten Ableitung, wenn die Punkt Symmetrie nicht anwendbar ist?

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Da brauchst du nichts abzuleiten, der Wendepunkt ist bereits bekannt.

Die verschobene Funktion kannst du natürlich mittels f(-x)=-f(x) auf Punktsymmterie zum Ursprung prüfen. Genau dazu wurde die ursprüngliche Funktion ja verschoben. Du kannst dann aber auch einfachere Kriterien heranziehen, z.B. dass in der Normalform alle Exponenten ungerade sind.

Answer 2

Verschiebe die Symmetrie und

wandle die Behauptung f(x)=-f(-x) ab zu

f(x-1)= -f(-(x-1)). 

Hoffe, das klappt dann so. 

Formeln etc. zu allgemeinen Symmetrien:

https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

Dort ist auch ein einführendes Video kostenfrel. 

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vielen Dank für die Antwort