Grenzwert von f(x) = x^2 * e^ (-x^2) . Verstehe die Musterlösung nicht

Question

Gegeben sei eine Funktion: \(f:ℝ→ℝ,\) \( x↦f(x)={ x }^{ 2 }{ e }^{ { -x }^{ 2 } }. \)

2)

Geben sie die Grenzwerte von \( \lim_{x\to\pm\infty}f(x) \) und \( \lim_{x\to\pm\infty}f'(x) \) an:

Lösung: \( \lim_{x\to\pm\infty}f(x) = 0\) und \( \lim_{x\to\pm\infty}f'(x)=0 \)

Könnte mir jemand bitte erklären wie man ohne eine komplizierte Rechnung auf diese Lösung kommt?

Comments

$$ x^2e^{-x^2} = \frac{x^2}{e^{x^2}} $$

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Ach so, vielen Dank.

aus \(  { e }^{{ -x }^{ 2 }}  \) wird \(  { e }^{{ x }^{ 2 }}  \) da es durch 1 geteilt wird, richtg?

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e^{-x^2} ist die Umkehrfunktion von e^{x^2}, also 1 / e^{x^2}

Gruß

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Es wurde ein Potenzgesetz angewendet

Und nein, das ist nicht die Umkehrfunktion! Du meinst vermutlich den Kehrwert.

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Meinte ich, ja...

Answer 1

Wenn Ihr die Regel von L'Hospital behandelt habt , geht das sehr schnell.

Du hat hier ein Ausdruck (∞/∞) , auch bei der Ableitung.

Das bedeutet, leite Zähler und Nenner getrennt ab, dann kommst Du auf 0

Comments

Also müsste man diesen Term umformen?
\( \frac { { e }^{ { -x }^{ 2 } } }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } \)

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Bzw. eher auf dieser Weise damit man ableiten kann:

\( \frac { { -x }^{ 2 } }{ \frac { 1 }{ { e }^{{ -x }^{ 2 } } } } \)

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so geht es:

x^2/(e^{x^2})