Folge konvergiert genau dann wenn drei Teilfolgen konvergieren: (a_(2k)); (a_(2k+1)) und (a_(5k)) [ jeweils k€ N]?

Question

Zeige: Eine Folge (an)neN konvergiert genau dann,

wenn die drei Teilfolgen

(a_(2k)); (a_(2k+1)) und (a_(5k))   [ jeweils k element von N]

konvergieren.

EDIT(Lu): Indizes korrigiert gemäss Kommentar. 

Comments

Meinst du (a_2k); (a_2k+1) und (a_5k)  

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ja, das habe ich gemeint mit den Teilfolgen!

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Und? Hast Du dazu irgendwelche Ideen entwickelt? Es gibt Zahlen g₁, g₂, g₃, so dass fast alle Folgenglieder mit geradem/ungeradem/durch fuenf teilbarem Index in jeder Umgebung von g₁/g₂/g₃ liegen. Zeige, dass g₁=g₂=g₃ ist und das auch der Grenzwert der Folge sein muss.

Answer 1

Die Teilfolge a_5k (Folgenglieder mit Index, der durch 5 teilbar ist) habe den Grenswert g.

In jeder (noch so kleinen) Umgebung von g liegen also fast alle (= alle bis auf endlich viele) Glieder dieser Folge.

In einer solchen Umgebung liegen jeweils aber auch unendlich viele Glieder der Teilfolgen a_2k ( gerader Index) und a_2k+1 (ungerader Index), weil mit wachsendem k immer wieder (also unendlich viele!) Glieder der beiden letzten Folgen in der ersten Folge vorkommen.

Wäre nun z.B. der Grenzwert g₁ von a_2k ≠ g mit  d:= |g - g₁|, so könnten  in der Umgebung 

[ g₁- d/3) ; g₁ + d/3] von g₁ nicht fast alle Folgenglieder von a_2k liegen. (für a_k+1 analog)

-> g₁ = g₂ = g

Answer 2

wenn die Folge konvergiert, dann konvergieren auch alle Teilfolgen.

Umgekehrt: Diese drei Teilfolgen decken doch alle Folgenglieder ab.

wie schon im Kommentar gesagt, sind aber die drei Grenzwerte gleich,

also konvergiert auch die Folge gegen diesen Grenzwert.

Comments

Dass die drei Grenzwerte gleich sind ist zu zeigen, vorausgesetzt ist nur, dass sie existieren.