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Info Text: Endlich wieder am Meer. Die Idee, das Spiel vn Ebbe und Flut zur Erzeugung von elektrischer Enegrie zu nutzen, wird folgenderma├čen umgesetzt. Ein der K├╝ste vorgelagerter Damm bildet mit dieser ein R├╝ckhaltebecken. Die im Damm befindlichen Generatorturbinen werden bei Flut durch in das R├╝ckhaltebecken flie├čendes Wasser, bei Ebbe durch aus dem R├╝ckhaltebecken flie├čendes Wasser angetrieben und erzeugen so elektrische Energie.

Funktions Info: Die Funktion V(t)= 50 * sin(¤Ç/6 * t) +100 beschreibt das im R├╝ckhaltebecken befindliche Wasservolumen (in VE) in Abh├Ąngigkeit von der Zeit t in Stunden h, wobei t=0 der Uhrzeit 16:00 Uhr entspricht.

 

Aufgaben:

1. Zum Zeitpunkt t=0 beginnt die Flut. Zeigen Sie dass in der Zeitspanne von 16:00 Uhr bis 4:00 Uhr eine Periode von Ebbe und Flut liegt.

2. Skizzieren Sie den Graf der Funktion V(t) f├╝r die erste Periode und interpretieren Sie diesen im Sachzusammenhang. (Ma├čstab: 1c,=25VE, 1cm=1h)

3.Bestimmen Sie das maximale im R├╝ckhaltebecken befindliche Wasservolumen.

4.Ermitteln Sie um Welche Uhrzeit w├Ąhrend der Zeitspanne von 17 Uhr bis 3 Uhr die Generatorturbinen keine elektrische Energie erzeugen.

5.Die Werte der Ableitungtsfunktion V'(t) geben an:

-das maximale Wasservolumen im R├╝ckhaltebecken (Richtig/Falsch)

-das Wasservolumen im R├╝ckhaltebecken zu einer bestimmten Zeit (Richtig/Falsch)

-das Wasservolumen welches je Stunde dem R├╝ckhaltebecken zu- bzw. abflie├čt (Richtig/Falsch)

-die zum F├╝llen des R├╝ckhaltebeckens ben├Âtigte Zeit (Richtig/Falsch)

6.Zeigen Sie wie man das mittlere, w├Ąhrend einer Periode von Ebbe und Flut im R├╝ckhaltebecken befindliche Wasservolumen bestimmt.

7.F├╝r die Dauer der ersten Periode soll die Funktion V(t) durch eine ganzrationale Funktion geeigneten Grades ersetzt werde. Ermitteln Sie deren Funktionsgleichung f(t).

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V(t)= 50┬Ěsin(pi/6┬Ět) + 100
V'(t) = 25┬Ěpi┬Ěcos(pi/6┬Ět)/3

 

1. Zum Zeitpunkt t=0 beginnt die Flut. Zeigen Sie dass in der Zeitspanne von 16:00 Uhr bis 4:00 Uhr eine Periode von Ebbe und Flut liegt.

In dem sin steht in der Funktion pi/6. Das bedeutet pi/halbe periode. Die halbe Periode sind also 6 Stunden. Damit sind 12 Stunden eine Periode.

2. Skizzieren Sie den Graf der Funktion V(t) f├╝r die erste Periode und interpretieren Sie diesen im Sachzusammenhang. (Ma├čstab: 1c,=25VE, 1cm=1h)

3.Bestimmen Sie das maximale im R├╝ckhaltebecken befindliche Wasservolumen.

sin() wird maximal 1. Damit ist das maximale Wasservolumen

50*1 + 100 = 150 VE

4.Ermitteln Sie um Welche Uhrzeit w├Ąhrend der Zeitspanne von 17 Uhr bis 3 Uhr die Generatorturbinen keine elektrische Energie erzeugen.

Extremstellen hat die Funktion an den Stellen 3 + n*6.

D.h. die erste Extremstelle haben wir bei 19 Uhr und die n├Ąchste um 1 Uhr.

5.Die Werte der Ableitungtsfunktion V'(t) geben an:

-das maximale Wasservolumen im R├╝ckhaltebecken (Richtig/Falsch)

Falsch

-das Wasservolumen im R├╝ckhaltebecken zu einer bestimmten Zeit (Richtig/Falsch)

Falsch

-das Wasservolumen welches je Stunde dem R├╝ckhaltebecken zu- bzw. abflie├čt (Richtig/Falsch)

Richtig. Eigentlich die Momentane Änderungsrate des Zu- und Abflussen.

-die zum F├╝llen des R├╝ckhaltebeckens ben├Âtigte Zeit (Richtig/Falsch)

Falsch

6.Zeigen Sie wie man das mittlere, w├Ąhrend einer Periode von Ebbe und Flut im R├╝ckhaltebecken befindliche Wasservolumen bestimmt.

V(t) = 50┬Ěsin(pi/6┬Ět) + 100

Stammfunktion

F(t) = 100┬Ět - 300/pi┬Ěcos(pi/6┬Ět)

(F(12) - F(0)) / 12 = ((1200 - 300/pi) - (- 300/pi))/12 = 100

7. F├╝r die Dauer der ersten Periode soll die Funktion V(t) durch eine ganzrationale Funktion geeigneten Grades ersetzt werde. Ermitteln Sie deren Funktionsgleichung f(t).

Das einfachste w├Ąr durch eine Funktion 3. Grades

p(t) = a┬Ěx┬Ě(x - 6)┬Ě(x - 12) + 100
p(3) = 150
a┬Ě3┬Ě(3 - 6)┬Ě(3 - 12) + 100 = 150
a = 50/81

p(t) = 50/81┬Ět┬Ě(t - 6)┬Ě(t - 12) + 100

Ich zeichne sie mal zum Vergleich auch ins Koordinatensystem

von 294 k
was f├╝r eine tolle Anrwort/L├Âsung; Respekt!
Super ich danke Dir aufjedenfall erstmal f├╝r die Bearbeitung!

 

Jedoch h├Ąte ich ein paar kleine fragen:

- Aufgabe 2: Wie hast du die erste Skizze berechnet (k├Ânntest du mir eine kleine beispiel aufgabe angeben welche werte du wie eingesetzt hast)

-Aufgabe 5: K├Ânntest du mir noch eine kleine begr├╝ndung geben wieso es nur das sein kann oder ein tipp wie man sich es merken kann

 

Das wars auch schon sonst bedanke ich mich nochmal f├╝r die tolle Antwort!
Ich setzte sie Werte von -1 bis 13 in die Funktionsgleichung ein und erstelle mir so eine kleine Wertetabelle. Dieser Werte trage ich in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie.

├ťber die Ableitung einer Funktion kann man Steigungen berechnen. Die Herleitung erfolgte ├╝ber den Differenzialquotienten.

Die Steigung ist auch immer eine Änderungsrate.

Wenn also die normale Funktion ein Volumen in Abh├Ąngigkeit der Zeit angibt, dann gibt die Ableitung die ├änderung des Volumens zu einem Zeitpunkt an.

 

Wenn die normale Funktion eine zur├╝ckgelegte Strecke in Abh├Ąngigkeit der Zeit angibt, dann gibt die Ableitung die ├änderung der Strecke oder die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt an.
Danke f├╝r die schnelle und Top R├╝ckmeldung (=
Kurze frage zu 4 woher nimmst du die gleichung
Bei 4 brauchst du nur nach Hoch und Tiefpunkten schauen. Dort ist ja die ├änderungsrate genau 0, d.h. es flie├čt kurzfristig kein Wasser durch die Turbinen.
Dann w├Ąre die richtige Antwort doch aber (bei der Periode 17-3, da t=0 entspricht 17=0 und es f├Ąngt mit 18 an) 20 Uhr und 2 Uhr wenn ich vom HP und TP der 1 Skizze aus gehe.
Ja da hab ich einen Fehler gemacht. aber wenn t=0 16 uhr endspricht dann haben wir die erste Extremstelle bei 19 uhr. Und dann die n├Ąchste Extremstelle 6 Stunden weiter oder?
Das war mein erstes Ergebnis jedoch hat mich die neue Zeitspanne ein wenig verwirrt. Ich ging davon aus das es eine neue periode sei und ich somit t=0 17 Uhr h├Ątte, dem ist aber nicht so oder ?
Nein. Dort steht ja nur du sollst die Extremstellen zwischen 17 und 3 Uhr angeben. 16 Uhr bleibt weiterhin bei t=0.

Mein Fehler war das ich zuerst einfach nur t ausgerechnet habe und das nicht auf Zeiten umgerechnet hatte.
Die Aufgabe besagt ja ich soll es ermitteln gibt es daf├╝r eine kleine Funktion oder ist es nur dem Graphen entnommen `?
Du kannst V'(t) auch gleich Null setzen. Dann h├Ąttest du den rechnerischen Weg. Ermitteln bedeutet aber nicht  zwangsweise berechnen.

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