Zunächst möchte ich eine Ungleichung herleiten, welche für den eigentlichen Induktionsbeweis benötigt wird.
Es sei:
i>0
Daraus folgt:
n+2+i>n+2;n>1
i=1∏n(n+2+i)>i=1∏n(n+2)=(n+2)n∣⋅(n+2)!
(n+2)!⋅i=1∏n(n+2+i)>(n+2)!⋅(n+2)n
Die linke Seite der Ungleichung soll noch etwas umgeformt werden. Es gilt:
i=1∏n(n+2+i)=i=n+3∏2n+2i
(n+2)!=i=1∏n+2i
Daraus folgt für das Produkt:
(n+2)!⋅i=1∏n(n+2+i)=(i=1∏n+2i)⋅(i=n+3∏2n+2i)
(n+2)!⋅i=1∏n(n+2+i)=i=1∏2n+2i=(2n+2)!
Ersetzt man nun die linke Seite der obigen Ungleichung, erhält man folgende Hilfsungleichung:
(2n+2)!>(n+2)!⋅(n+2)n
Nun zum Induktionsbeweis für die Ungleichung:
i=1∏n[(2i)!]>[(n+1)!]n;n>1
Induktionsanfang:
n=2⇒2!⋅4!>[(2+1)!]2⇒48>36
Induktionsschritt unter der Induktionsvoraussetzung:
i=1∏n[(2i)!]>[(n+1)!]n∣⋅(2n+2)!
(2n+2)!⋅i=1∏n[(2i)!]=i=1∏n+1[(2i)!]>(2n+2)!⋅[(n+1)!]n
Daraus folgt mit der oben hergeleiteten Hilfsungleichung:
i=1∏n+1[(2i)!]>(2n+2)!⋅[(n+1)!]n>(n+2)!⋅(n+2)n⋅[(n+1)!]n
Für die rechte Seite der Ungleichung gilt:
(n+2)!⋅(n+2)n⋅[(n+1)!]n=(n+2)!⋅[(n+2)⋅(n+1)!]n
(n+2)!⋅(n+2)n⋅[(n+1)!]n=(n+2)!⋅[(n+2)!]n
(n+2)!⋅(n+2)n⋅[(n+1)!]n=[(n+2)!]n+1
Ersetzt man die rechte Seite der Ungleichung entsprechend, ergibt sich abschießend:
i=1∏n+1[(2i)!]>[(n+2)!]n+1
Damit ist der auch der Induktionsschritt gezeigt und obige Ungleichung bewiesen.