Grenzwertaufgabe: Srückweise definierte Funktion: f(x):= 14 - x^2 für x < 3 und f(x):= 8 - x für x ≥ 3,

Question

Hilfestellung benötigt

 

Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? 

Ich habe so eine Aufgabe mit großer/kleiner gleich noch nie gesehen.

Comments

Das ist eine stückweise definierte Funktion.

Allerdings muss man hier raten, was du mit Hilfe eines Grenzwerts denn genau rausfinden möchtest.

Answer 1

f(x) = 14 - x^2  für x< 3
f(x) = 8 - x für x ≥ 3

Stetigkeit
14 - 3^2 = 5
8 - 3 = 5
An der Nahtstelle ist die Funktion stetig

Differenzierbarkeit
für x = 3
( 14 - x^2  ) ´ = -2x  =>  -6
( 8 - x  ) ´= -1
Die Funktion ist an der Stelle x = 3 nicht diff-bar

Comments

Aber warum x=3? Es heißt doch x<3 Also x kleiner3

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Hier der Graph

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Dankeschön für die Hilfe, aber verstanden habe ich es nicht...denn die größer kleiner Zeichen verwirren mich

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Differenzierbarkeit
für x = 3
( 14 - x²  ) ´ = -2x  =>  -6
( 8 - x  ) ´= -1
Die Funktion ist an der Stelle x = 3 nicht diff-bar

Wenn du es ganz genau haben willst

lim x −> 3(-)  [ ( 14 - x²  ) ´ ] =  [ -2x ] = -6
für x = 3  [ ( 8 - x  ) ´ ] = [ -1 ] = -1
lim x −> 3(+)  [ ( 8 - x  ) ´ ] = [ -1 ] = -1

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Dankeschön für die Hilfe, aber verstanden habe ich es nicht
Bei Bedarf gern weiter fragen.

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Habe nämlich so eine Aufgabe mit großer/kleiner gleich noch nie gesehen 

Dies ist eine abschnittsweise definierte Funktion.
Für x < 3 gilt der obere Term,
für x ≥ gilt der andere.

Eine Frage hast du nicht formuliert.
Stand im Aufgabentext im Buch eine Frage ?

Ansonsten wurde geprüft ob die beiden Terme an der Nahtstelle
denselben Funktionswert haben. Dies nennt man Stetigkeit.

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Ok ich frage weiter und zwar machen mich die Zeichen größer kleiner verrückt...

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Antwort auf letzten Beitrag:

Wir sollen herausfinden ob die Funktion stetig ist

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Stell dir den Zahlenstrahl vor.
Dort gibt es eine Stelle x = 3.
Der Bereich links davon ist x < 3
Der Bereich rechts davon ist x > 3.
Schau dir den Graph an. Für x < 3 gilt eine
andere Funktion als für x ≥ 3.

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Ja das verstehe ich, aber wie soll ich damit rechnen und den limes herausbekommen?

Denn man prüft ja immer erst die Funktion durch einsetzen... Ob eine Polstelle etc vorliegt. Dann den Grenzwert.

Und als letztes vergleicht man beide Werte, sind sie gleich stetig wenn nicht nicht stetig

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In Worten : was ist der Grenzwert wenn x sich 3 von links
nahert, also ein kleinen Tick kleiner ist.

lim x −> 3(-)  [ 14 - x²  ] = 
( x^2 geht gegen 9 )
lim x −> 3(-)  [ 14 - x²  ] =  [ 14 - 9 ] = 5

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Man kann Grenzwerte beliebig definieren
lim x −> 3(-)
lim x −> 3(+)
lim x −> ∞
lim x −> -∞

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Also unstetig? Da die Werte nicht gleich sind?

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Also darf ich um y zu erhalten einfach die 3 in die Funktionsgleichung einsetzen ?

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Die erste Grenzwertbetrachtung zeigt die von dir gestellte Frage

Die zweite Grenzwertbetrachtung ist für einen anderen Term

Dort kommt beim Grenzwert
1 geteilt durch ( - Klitzekleinigkeit ) = - ∞
und
1 geteilt durch ( + Klitzekleinigkeit ) = + ∞

heraus.

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 Also schreibe ich das so auf?

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Auf dem Bild kann ich nur schlecht etwas erkennen.

Nachgewiesen werden soll die Stetigkeit an der Stelle x = -1

Die Funktion ist nicht stetig.

Stell dein 2.Bild / 2.Anfrage doch nocheinmal als neue Frage ein.
Gehe  jetzt fernsehschauen.

Answer 2

Grenzwert für x gegen 3 ???

Ist  von rechts =5 und  von links = 5

Also f  stetig bei x=3.