Für welche a,b,c,d ist f(x):=ax² + bx für x≤1,f(x):=-x5 + 3x² + 2 für 1<x≤2, f(x):=ax²+4cx - d für x>2 differenzierbar?

Question

die Frage ist für welche Werte der 4 Parameter a,b,c,d ∈ ℝ die folgende Funktion bei x=1 und x=2 differenzierbar ist:

             ax² + bx                       , x ≤ 1

f(x) = {  -x^5 + 3x² + 2             ,1 < x ≤ 2

            ax² + 4cx - d                , x > 2

Wie muss ich hier vorgehen?

lg.

Answer 1

Nun, f ( x ) ist an den Stellen x = 1 und x = 2  differenzierbar, wenn die Definitionsstücke von f ( x ) an ihren Randstellen denselben Funktionswert und dieselbe Steigung haben.

Aus dem parameterlosen zweiten Definitionsstück - x ⁵ + 3 x ² + 2  kann man errechnen, welche Werte dies sein müssen:

Für die Funktionswerte gilt an der Stelle x = 1:

- x ⁵ + 3 x ² + 2 = 4

und an der Stelle x = 2:

- x ⁵ + 3 x ² + 2 = - 18

Für die Steigungen gilt an der Stelle x = 1:

- 5 x ⁴ + 6 x = 1

und an der Stelle x = 2

- 5 x ⁴ + 6 x = - 68

Daher muss das Definitionsstück a x ² + b x an der Stelle x = 1 ebenfalls den Funktionswert 4 und seine Ableitung 2 a x + b den Wert 1 haben, während das Definitionsstück a x ² + 4 c x - d an der Stelle x = 2 den Funktionswert - 18 und seine Ableitung 2 a x + 4 c den Wert - 68 haben muss. Es muss also gelten:

a + b = 4
2 a + b = 1
4 a + 8 c - d = - 18
4 a + 4 c = - 68

Löst man dieses Gleichungssystem , so erhält man:

a = - 3
b = 7
c = - 14
d = - 106

Das sind die gesuchten Werte.

Die Funktion f muss also lauten:

$$f(x)=\left\{ \begin{matrix} -3{ x }^{ 2 }+7x\quad für\quad x\le 1 \\ -{ x }^{ 5 }+3{ x }^{ 2 }+2\quad für\quad 1<x\le 2 \\ -3{ x }^{ 2 }-56x+106\quad für\quad x>2 \end{matrix} \right\}$$

um an den Stellen x = 1 und x = 2 differenzierbar zu sein.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort.

Ich verstehe allerdings nicht ganz was mit den Randstellen gemeint ist und wieso in die obere Gleichung x=1 und in die untere x=2 eingesetzt wird.

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Mit Randstellen meine ich die Stellen, an denen die Definitionsstücke zusammen"geflickt" werden müssen.

Das erste und das zweite Definitionsstück müssen an der Stelle x = 1 zusammenpassen, dort also den gleichen Funktionswert und auch den gleichen Ableitungswert haben. Das zweite und das dritte Definitionsstück müssen hingegen an der Stelle x = 2 zusammenpassen, dort also den gleichen Funktionswert und auch den gleichen Ableitungswert haben.

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Ich meinte wieso das erste und zweite Definitionsstück an der Stelle x=1 zusammenpassen müssen und nicht an der Stelle x=2 und eben auch wieso dann das zweite und dritte Definitionsstück an der Stelle x=2 zusammenpassen müssen und nicht bei x=1.


Weil wenn man es anderstrum mach kommen andere Werte für die Parameter raus.

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Nun, die Definitionsstücke sind doch von links nach rechts angegeben.

Für x ≤ 1 gilt das erste Definitionsstück, für 1< x ≤ 2 das zweite. Also müssen diese beiden Stücke bei x = 1 ineinander übergehen, also vom Funktionswert und der Steigung her an dieser Stelle übereinstimmen.

Das zweite Definitionsstück gilt bis x ≤ 2 . Für x > 2 gilt dann das dritte Definitionsstück. Also müssen das zweite und das dritte Defintionsstück  bei x = 2 ineinander übergehen, dort also vom Funktionswert und der Steigung her übereinstimmen.

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Ok, jetzt habe ich es verstanden.