Bogenlänge eines Graphen

Question

Die Länge des Graphen der Funktion in den Grenzen 1 und e ist zu berechnen.

f(x) = 1/4 * (x² - 2* ln x)

Bei der Substitution dann bei der Rechnung, komme ich auf keinen "angenehmen" x = ... Term, den ich dann weiter verwenden kann.

LG und

Answer 1

f(x) = 1/4·(x² - 2·LN(x))

f'(x) = x/2 - 1/(2·x)

(f'(x))² = x²/4 + 1/(4·x²) - 1/2

1 + (f'(x))² = x²/4 + 1/(4·x²) + 1/2

√(1 + (f'(x))²) = ✓(x²/4 + 1/(4·x²) + 1/2) = (x² + 1)/(2·x) = x/2 + 1/(2·x)

L(x) = LN(x)/2 + x²/4

L(e) - L(1) = (LN(e)/2 + e²/4) - (LN(1)/2 + 1²/4) = e²/4 + 1/4 = 2.097