Integrieren von cos(x/2+p/2)dx

Question

wie rechne ich die Aufgabe wenn F(x) gesucht ist?

$$\int { cos(\frac { x }{ 2 } +\frac { \pi }{ 2 } } )dx$$

Meine Idee ist, dass ich 1/2 von die Klammer ziehe und dann eine zwei vor das Integrationszeichen schreibe.

Dann schreib ich:

$$\int { 2sin(\frac { x }{ 2 } +\frac { \pi }{ 2 } } )+c$$

Ist das richtig und kann ich die Summe in der Klammer so lassen?

Answer 1

Hi, wenn du das Additionstheorem für den Cosinus anwendest, wirst du sehr schnell zum Ziel kommen. ;)

Comments

∫ cos(ax+b) dx = 1/a•sin(ax+b) + c  ist deutlich "schneller" .

Hier kann man auch verallgemeinern:  cos durch f und sin durch F (Stammfunktion von f) ersetzen.

Answer 2

In deinerm letzten Term steht die Stammfunktion, also kein Integralzeichen mehr.

Wenn du ihn ableitest, merkst du dass es richtig ist.

Allgemein gilt:   ∫ f(ax+b) dx = 1/a • F(ax+b) + c   , wenn F eine Stammfunktion von f ist.

Comments

das Integralzeichen ist natürlich zuviel 

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Aber in dem Fall ist ja F keine Stammfunktion von f oder?

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sin(x) ist eine Stammfunktion von cos(x), deshalb

1/a  sin(ax+b) ist EINE Stammfunktion von cos (ax+b)   [Konstante c=0]

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ok und a ist 1/2 also 1/ 1/2  =2

Ergebnis:

2sin(x/2+p/2)+c richtig?

Answer 3

Habs mal schnell gerechnet:

Comments

wie kommst du auf -sin?

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Achso, bei der zweiten Möglichkeit hast du aber nur abgeleitet oder?

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Hier gibt es das Additionstheorem:

cos(a+b) = cos(a) *cos(b) -sin(a) *sin(b)

cos(pi/2)= 0

sin(pi/2)-= 1

= -sin(x/2)

das mußt Du nun noch Integrieren

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Sorry, ich muss nochmal fragen. Warum ist cos(pi/2)=0  und -sin(x/2)= 1 ?

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Dir muß klar sein ,wie das beiden Funktionen aussehen , dann verstehtst Du es , siehe Link

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus