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Sagen wir mal, die Aussage ist x < 5.

Wie muss dann die Bedingung für X aussehen, damit sie zur ersten Aussage hinreichend ist; notwendig ist; hinreichend und notwendig ist?

Meiner Vorstellung wär:

"x < 3" eine notwendige Bedingung für die erste Aussage.

"x = 1" eine hinreichende Bedingung für die erste Aussage.

Stimmt das? Und wie würde dann eine Bedingung aussehen, die zugleich notwendig und hinreichend für die Aussage "x < 5" ist?

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2 Antworten

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Beste Antwort

Wenn eine Zahl x die Bedingung x < 6 nicht erfüllt, dann kann sie x<5 nicht erfüllen. Es ist absolut unabdingbar, die Bedingung x < 6 zu erfüllen; um die Bedingung x<5 zu erfüllen. Die Bedingung  x < 6 ist notwendig für x<5.

x<3 ist allerdings nicht notwendig, um x<5 zu erfüllen. Ich kennne sehr viele Zahlen, die meilenweit davon entfernt sind, x<3 zu erfüllen, die aber trotzdem x<5 erfüllen. Die 4 zum Beispiel.

x<3 ist hinreichend um x<5 zu erfüllen. Mit x<3 ist man auf der sicheren Seite, wenn man x<5 erfüllen will.

Avatar von 105 k 🚀
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Deine Überlegungen sind nur teiweise richtig!

Beides sind  hinreichende Bedingungen für x<5.

x muss nicht "notwendigerweise" = 1 ( <3) sein, damit x<5 gilt


2x < 10 <=> x < 5 , also:  2x < 10   hinreichend und notwendig für x<5 (und umgekehrt)

Avatar von 86 k 🚀

Hallo und danke für die Antwort.

Ich verstehe aber dein Beispiel nicht. Also ist 2*x < 10 hinreichend und notwendig für die Aussage x < 5? Also wär im Fall dass die Aussage "x > 7" ist, "2*x > 14" hinreichend und notwendig zugleich? Also genügt es beide Seiten der Aussage zu multiplizieren mit einer Zahl, um schon als hinreichend und notwendig zu gelten?

Ja, weil das Multiplizieren einer Ungleichung mit einer positiven Zahl eine Äquivalenzumformung ist .

Bei einer negativen Zahl gehört zur Aquivalenzumformung noch das "Umdrehen" des Zeichens.

Da bleibt mir dann aber noch eine Frage. Wie würde für das Beispiel von "x < 5" eine notwendige Bedingung aussehen, die nicht hinreichend ist? Gibt es für dieses Beispiel überhaupt eine klare notwendige Bedingung, die nur notwendig aber nicht hinreichend ist?

x<7 ist notwendig, aber nicht hinreichend für x<5

Für x<5 muss notwendigerweise x<7 gelten

x<7 reicht aber nicht aus (hin) , um x<5 sicherzustellen.

Ah jetzt ist mir alles klar, vielen dank Wolfgang

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