Verknüpfung von Abbildungen. Es seien A und B zwei nicht leere Mengen:

Question

folgende Frage:

1) Es seien A und B zwei nicht leere Mengen. Gegeben seien Abbildungen: f: A → B, g: B → A
zwischen ihnen, deren Kompositum g ° f die identische Abbildung auf A ist, das heißt g f = id_A.
Zeigen Sie: Die Abbildung ist injektiv, und die Abbildung g ist surjektiv.

Wie die injektivität / surjektivität definiert ist, habe ich verstanden. Jedoch weis nicht nicht,
wie ich dies nun zeigen kann.

Answer 1

Kann man natürlich auch noch etwas ausführen.

Etwa so:  f injektiv wird ja gezeigt durch: Sind x,y aus A mit f(x)=f(y), dann x=y.

Das würde hier so gehen:

Seien  x,y aus A mit f(x)=f(y)

dann  g( f(x)) =g(f(y)) da g eine Abbildung ist.

also  (g°f)(x)=(g°f)(y)

dann  x=y   da   g°f = id_A .  q.e.d.

Answer 2

Wäre die Abbbildung f  nicht injektiv, wäre g(f(x))  nicht eindeutig definiert.

Wäre g nicht surjektv, gäbe es einen Wert x in A, für den g(f(x)) ≠ x gilt. gof könnte also nicht die identische Abbildung sein.

Comments

Und das reicht wirklich schon um es zu zeigen? Kommt mir so wenig vor Punkte :-)