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Für beliebige Konstanten a, b > 0 und n groß genug gilt folgendes:

n^2 ≥ a*n+b

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Zeige vorerst einmal, dass die Aussage für A(1) gilt.

Der nächste Schritt ist dann, das Ganze für n+1 zu zeigen.

Schau dir am besten noch einmal die vollständige Induktion an :-)

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion

Um "einzusteigen" kannst du ja mal den kleinen Gauß beweisen (Nur zum Warm-Up).

Somit komme ich dann auf n^2+2n+1≥a*n+a+b.

Aber wie geht es weiter?

Mit vollständiger Induktion zeigt man normalerweise Aussagen der Form:

Für alle n ∈ ℕ - [ ggf. n≥ Zahl oder auch n∈ ℤ ]  - gilt : A(n)  (diese Form liegt hier nicht vor!)

Ich sehe hier keinen Ansatz für einen Induktionsbeweis.

(Lasse mich aber gern eines Besseren belehren, man lernt ja nie aus :-))

Mit einem normalen direkten Beweis geht es natürlich.

Steht bei der Aufgabe wirklich "Beweise per v. Induktion"? bzw. ist die Aufgabe komplett abgeschrieben??

1 Antwort

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Einen Induktionsschritt kann ich spendieren: $$(n+1)^2=n^2+2n+1\stackrel{\text{IV}}{\ge} an+b+2n+1\stackrel{\text{!}}{\ge}a(n+1)+b$$ Das geht offensichtlich für $$n\ge(a-1)/2$$ immer gut. Einen Induktionsanfang, der funktioniert, aber gleichzeitig so daemlich ist, dass er nicht schon nebenher die ganze Aufgabe loest, hab ich noch nicht gefunden. :)
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Letzteres meinte ich mit "normaler direkter Beweis geht natürlich".

Aber dein Induktionsschritt ist trotzdem schön.

Der Induktionsschritt geht eigentlich immer per direktem Beweis.

"Direkt" war nicht im Gegensinne von "indirekt" gemeint, sondern im Sinne von "normal".

Schlechte Wortwahl :-)

Aber ohne Basis kein Induktionsbeweis. Sonst kann man bekanntlich auch beweisen, dass jede ungerade Zahl durch 2 teilbar ist.

Ein Induktionsanfang, der ad hoc *ein* passendes n für beliebige a,b angibt, *ohne* die Ungleichung gleich generell zu beweisen, wird noch gesucht. Wenn Du dazu einen Vorschlag hast ...

Ich bleibe meiner Meinung in meinem Kommentar zu Frage:

Mit vollständiger Induktion zeigt man normalerweise Aussagen der Form:

Für alle n ∈ ℕ - [ ggf. n≥ Zahl oder auch n∈ ℤ ]  - gilt : A(n)  (diese Form liegt hier nicht vor!)

Ohne A(n)  kein A(nStart)

Und jeder "induktionsschritt", der nicht in der Form "A(n+1) -> A(n)" formuliert wird stellt eigentlich nur "Überlegungen zu einem eventuellen Induktionsschritt" dar.

Gesucht ist also erst einmal A(n)

Hast DU dazu einen Vorschlag?


Fuer alle grossen n soll gelten: n2 >= an+b (a,b >0 bel.)

Das ist A(n). Den IS für n >= n0 := (a-1)/2 haben wir schon. Es fehlt noch ein IA, d.h., es soll explizit ein n >= n0 angegeben werden, für das dann A(n) auch wirklich gilt.

Bei der Bestimmung dieses n sollst Du auf komplette Beweise der Ausgangsgleichung verzichten, weil der Induktionsbeweis sonst witzlos wird.

Klar soweit?

Es ist zu zeigen:

Seien a,b ∈ ℝ+ beliebig aber fest, dann gilt:

∃ nB(a,b) ∈ ℕ: ∀n ∈ N: [ n ≥ nB ->  n2 > a • n + b ]  


A(n,nB):  " [ n ≥ nB ->  n2 > a • n + b ] "

Gesucht ist dann tatsächlich nur noch ein passendes nB(a,b).

Erst dann haben wir A(n) in der eckigen Klammer mit eingesetztem  nB(a,b),

und der Induktionsbeweis kann beginnen.

Und beim Auffinden von nB(a,b)  und bei der Verifizierung von A(nB(a,b))

muss natürlich vermieden werden,

dass dadurch der Induktionsschluss  " A(n) -> A(n+1) " überflüssig wird,

da sonst der Auftrag  "Beweise durch vollständige Induktion" absurd wäre.

So lasst uns denn suchen!

Mein Vorschlag soll \(n=2\max(\lceil a\rceil,\lceil b\rceil)\) für den Induktionsanfang sein. Man kann direkt nachrechnen, dass alle Voraussetzungen erfuellt sind, ohne Vorwegnahme der zu zeigenden Ungleichung oder verwandter Aussagen.

Kannst du A( 2•max(⌈a⌉,⌈b⌉)), also "  n ≥ 2•max(⌈a⌉,⌈b⌉) ->  n2 > a • n + b "

tatsächlich verifizieren, ohne dass die Gültigkeit für alle n sofort ersichtlich wird?

Dann schreib das bitte mal hin, interessiert mich wirklich!

Wenn \(n=2\lceil a\rceil\) der groessere Wert ist, dann habe ich \((n^2\ge an+b)\) $$4\lceil a\rceil^2\ge2a\lceil a\rceil+b\quad\Longleftrightarrow\quad2\lceil a\rceil^2+2\lceil a\rceil^2\ge2a\lceil a\rceil+b$$ und man sieht leicht, dass links die groesseren Summanden stehen. Wenn \(n=2\lceil b\rceil\) der groessere Wert ist, dann sieht es bei $$4\lceil b\rceil^2\ge2a\lceil b\rceil+b$$ ganz entsprechend aus. Das ist nur elementare Zahlentheorie. Da wird nix benutzt, was auch nur ansatzweise nach Analysis riecht.
Stark! Du hast mich überzeugt.
Wünsche dir eine gute Nacht!

Der Vollständigkeit halber bleibt noch zu ergänzen, dass 2•max(⌈a⌉,⌈b⌉ ≥ (a-1)/2 ist und damit auch dem in der Antwort vorgeführten Induktionsschritt nichts mehr im Weg steht.
Ich kann es zwar nicht nachprüfen, aber ich glaube dir, dass du beim Auffinden von nB nicht mit der Lösungsmenge der Ungleichung "rumgefummelt" hast, weil es tatsächlich auch ohne machbar ist.

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