Question

Das Dach eines Kirchturms hat die Form einer quadratischen Pyramide. Die Seiten des Quadrats sind 7,60 m lang, die Körperhöhe der Pyramide beträgt 14,40 m.

a) Berechne die Höhe der Seitendreiecke, dann die Größe der Dachfläche.

b)Berechne aus der Höhe und der Grundseite eines Seitendreiecks mithilfe des Satzes von Pythagoras die Länge der Seitenbalken, die sich in der Spitze des Daches treffen.

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a hab ich schon raus 14,9m für die höhe der seitendreiecke und 226,48 m² für die größe der dachfläche. Wie geht die b) in der Lösung steht 15,37m

Answer 1

Gegeben sind die beiden grünen Seiten a und h:

a = 7,6 m

h = 14,9 m

Die Höhe h steht senkrecht auf a, also bilden a/2, h und s ein rechtwinkliges Dreieck mit:

a²+h² = s²

s² ≈ (3,8m)² + (14,9m)²

s² ≈ 236,45 m²

s ≈ 15,38 m

Siehe auch Pyramidenrechner: https://www.matheretter.de/rechner/pyramide

Answer 2

a)Die Dachfläche ist im Prinzip der Mantel der Pyramide .

a=7,6 un d h_p=14,4  und a=c im gleichschenkligem Dreieck. für die Mantelfläche braucht man h_dreieck

h_d=√((1/2)*7,6)²+14,4²

=√14,44+207,36

=√221,8

=14,89

eine Seitenfläche des Mantels ist dann

A=(1/2)*c*h_d

A=(1/2)*7,6*14,89

=56,582

nun hat das Dach ja 4 Seiten  , diese Ergebnis mit 4 multiplizieren

M=4*A=226,328

Die Fläche vom Dach beträgt 226,326m².

b) um die Kantbalken zu derechnen braucht man die Diagonale der Grundfläche

d=a√2

d=7,6*√2=10,75

dann ist ein Kantlänge         k=√14,4²+10,75"=17,97

alle Balken zusammen sind               4*17,97=71,88

Die angebene Lösung geht von der höhe des Seitendreiecks aus , ist aber nicht korekt man muss die Schenkellänge des  gleichschenkligen Dreiecks berechnen, den nur damit lässt sich die Dachpyramide aufstellen.

Comments

Natürlich kann man ebenso auf diesem Weg zum Ziel kommen, allerdings ist dein Ergebnis falsch:

 

Richtig ist, dass die gesamte Diagonale der Pyramide a*√2 beträgt, das folgt aus dem Satz des Pythagoras:

d² = a²+a² = 2a²

d=a√2

Allerdings benötigst du für das nächste Dreieck ja nur die halbe Diagonale, denn nur dieses Dreieck hat s (oder k, wenn du es so nennen willst) als Hypotenuse.

d/2 = a/√2 ≈ 5,37m

Betrachtet man die Pyramide, ist auch direkt einleuchtender, dass die halbe Diagonale kürzer sein sollte, als die Seite a an sich.

 

Stellt man damit nun den Satz des Pythagoras für s auf, erhält man natürlich (bis auf Rundungsfehler) genau das gleiche Ergebnis, wie auf meinem Rechenweg. Wäre ja auch merkwürdig wenn nicht.

s² = h² + (d/2)²

s² ≈ (14,4m)² + (5,37m)²

s² ≈ 236,24m²

s ≈ 15,37m

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Danke,für die Korektur , das mit der halben Diagonale ist natürlich richtig.