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im Rahmen einer Projektarbeit berechne ich die Amortisationszeit einer Heizungsanlage, die nun durch eine Solaranlage und durch einen wasserfĂŒhrenden Kamin unterstĂŒtzt wird. 

Hier habe ich eine Formel erstellt die ich nach "n" auflösen muss. 
Leider bekomme ich es nicht hin -.- 

Teil1 

berechnung 1

Teil2

berechnung 2

Falls mir jemand helfen könnte wĂ€re das super! =) 

Danke!

von

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Das Problem ist nicht geschlossen lösbar, das heißt, es gibt keine Formel, mit der du das direkt ausrechnen kannst.

Eine Möglichkeit, die Lösung zu bestimmen, ist den Term in eine bestimmende Gleichung F(n) = 0 umzuformen und das Newton-Verfahren anzuwenden.

Das ist natĂŒrlich nicht sonderlich schwer, der Term lautet:

$$ F ( n ) = B _ { 0 } \frac { r _ { b } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { b - 1 } } - H _ { 0 } \frac { r _ { h } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { h } - 1 } - C _ { 0 } \frac { r _ { c } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { c } - 1 } - S = 0 $$

Nach dem Newtonverfahren lĂ€sst sich die Nullstelle in n jetzt gemĂ€ĂŸ der folgenden rekursiven Formel ermitteln:

Sei ni eine SchĂ€tzung fĂŒr eine Nullstelle, dann ist

$$ n _ { i + 1 } = n _ { i } - \frac { F \left( n _ { i } \right) } { F \left( n _ { i } \right) } $$

eine bessere SchĂ€tzung. Wenn du also irgendeinen Startwert n0 hast, kannst du so Schritt fĂŒr Schritt bessere AnnĂ€herungen fĂŒr die richtige Lösung ermitteln.
ZunÀchst brauchst du aber noch die Ableitung von F(n):

$$ F ( n ) = B _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { b } \right) r _ { b } ^ { n + 1 } } { r _ { b } - 1 } - H _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { h } \right) r _ { h } ^ { n + 1 } } { r _ { h } - 1 } - C _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { c } \right) r _ { c } ^ { n + 1 } } { r _ { c } - 1 } $$

Die Iterationsformel lautet damit:

$$ n_{i+1} = n_i - \frac{B _ { 0 } \frac { r _ { b } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { b } - 1 } - H _ { 0 } \frac { r _ { h } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { h } - 1 } - C _ { 0 } \frac { r _ { c } ^ { n + 1 } - 1 } { r _ { c } - 1 } - S } { B _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { b } \right) r _ { b } ^ { n + 1 } } { r _ { b } - 1 } - H _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { h } \right) r _ { h } ^ { n + 1 } } { r _ { h } - 1 } - C _ { 0 } \frac { \ln \left( r _ { c } \right) r _ { c } ^ { n _ { i } + 1 } } { r _ { c } - 1 } } $$

Das von Hand auszurechnen wĂ€re jetzt ziemlich kompliziert, allerdings kann man sie natĂŒrlich einfach programmieren und ihr einen Startwert geben (z.B. die 13,5 Jahre, die vorher die Lösung waren) und damit die Lösung ermitteln.

Die Lösung lautet dann:

n ≈ 14.8031 Jahre

Setzt man die Zahl ein, so erhĂ€lt man mit den gegebenen Zahlenwerten in etwa eine Genauigkeit von 6*10-3, das heißt, der Term ergibt etwa 22000.006€, das sollte an Genauigkeit ausreichen :-)

Nebenbei, ich hab das natĂŒrlich nicht programmiert, sondern wolframalpha die Arbeit ĂŒbernehmen lassen. Es ist aber natĂŒrlich sinnvoll, wenn man auch den Weg kennt, auf dem man das Ergebnis erreicht.

von 10 k

WolframAlpha hatte da wohl einmal 1.03 statt 1.08.

Mit 1.08 im ersten Nenner kommt WolframAlpha auf 14,8031 Jahre

http://www.wolframalpha.com/input/?i=22000%3D854*%281.08%5E%28n%2B1%29-1%29%2F%281.08-1%29+-+100*%281.03%5E%28n%2B1%29-1%29%2F%281.03-1%29+-+80*%281.01%5E%28n%2B1%29-1%29%2F%281.01-1%29

Es muss doch lÀnger gehen, wenn noch Kosten dabei sind.

Ah, das ist richtig. Ich hatte anfangs angenommen, das wĂ€ren weitere Vorteile, weil ich den Text nicht aufmerksam genug gelesen habe. Danke fĂŒr den Hinweis, n = 14.8031 Jahre ist richtig.
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Bei rb ≠ rc ≠ rh ist eine Auflösung nach n leider nicht möglich. Da mĂŒsstest Du mit einem NĂ€herungsverfahren arbeiten.

LG

von 2,3 k
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Ich glaube nicht, dass das geht.

Versuch es mal graphisch. Zahlen einsetzen und einen Plot so erstellen, dass du den Schnittpunkt mit der Horizontalen  y = 'Anlagenkosten' ablesen kannst.

Du kannst auch n schÀtzen. Wenn du 2 n-Werte hast, bei denen ein pos. resp. ein neg. Resultat rauskommt, suchst du dazwischen weiter, bis du den genauen Zeitpunkt hast.
von 160 k 🚀
Nummerisch kann man es versuchen, vielleicht gibt es auch noch eine andere Möglichkeit, bzw vielleicht kann man eine andere Formel aufstellen um das gewĂŒnschte Ergebnis zu bekommen.

 

Aber danke fĂŒr die Hilfe!

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