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Hallo, 

im Rahmen einer Projektarbeit berechne ich die Amortisationszeit einer Heizungsanlage, die nun durch eine Solaranlage und durch einen wasserführenden Kamin unterstützt wird. 

Hier habe ich eine Formel erstellt die ich nach "n" auflösen muss. 
Leider bekomme ich es nicht hin -.- 

Teil1 

berechnung 1

Teil2

berechnung 2

Falls mir jemand helfen könnte wäre das super! =) 

Danke!

Gefragt von Gast

3 Antworten

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Das Problem ist nicht geschlossen lösbar, das heißt, es gibt keine Formel, mit der du das direkt ausrechnen kannst.

Eine Möglichkeit, die Lösung zu bestimmen, ist den Term in eine bestimmende Gleichung F(n) = 0 umzuformen und das Newton-Verfahren anzuwenden.

Das ist natürlich nicht sonderlich schwer, der Term lautet:

Nach dem Newtonverfahren lässt sich die Nullstelle in n jetzt gemäß der folgenden rekursiven Formel ermitteln:

Sei ni eine Schätzung für eine Nullstelle, dann ist

n_{i+1}=n_i -\frac {F(n_i)}{F'(n_i)}

eine bessere Schätzung. Wenn du also irgendeinen Startwert n0 hast, kannst du so Schritt für Schritt bessere Annäherungen für die richtige Lösung ermitteln.
Zunächst brauchst du aber noch die Ableitung von F(n):

F'(n)=B_{ 0 }\frac { \ln { (r_{ b }) } r_{ b }^{ n+1 }-1 }{ r_{ b }-1 } -H_{ 0 }\frac { \ln { (r_{ h }) } r_{ h }^{ n+1 }-1 }{ r_{ h }-1 } -C_{ 0 }\frac { \ln { (r_{ c }) } r_{ c }^{ n+1 }-1 }{ r_{ c }-1 }

Die Iterationsformel lautet damit:

n_{ i+1 }=n_{ i }-\frac { B_0\frac{r_b^{n_i+1}-1}{r_b-1}-H_0\frac{r_h^{n_i+1}-1}{r_h-1}-C_0\frac{r_c^{n_i+1}-1}{r_c-1}-S}{B_0\frac{\ln{(r_b)}r_b^{n_i+1}-1}{r_b-1}-H_0\frac{\ln{(r_h)}r_h^{n_i+1}-1}{r_h-1}-C_0\frac{\ln{(r_c)}r_c^{n_i+1}-1}{r_c-1}}

Das von Hand auszurechnen wäre jetzt ziemlich kompliziert, allerdings kann man sie natürlich einfach programmieren und ihr einen Startwert geben (z.B. die 13,5 Jahre, die vorher die Lösung waren) und damit die Lösung ermitteln.

 

Die Lösung lautet dann:

n ≈ 14.8031 Jahre

 

Setzt man die Zahl ein, so erhält man mit den gegebenen Zahlenwerten in etwa eine Genauigkeit von 6*10-3, das heißt, der Term ergibt etwa 22000.006€, das sollte an Genauigkeit ausreichen :-)

 

Nebenbei, ich hab das natürlich nicht programmiert, sondern wolframalpha die Arbeit übernehmen lassen. Es ist aber natürlich sinnvoll, wenn man auch den Weg kennt, auf dem man das Ergebnis erreicht.

Beantwortet von 10 k
Es muss doch länger gehen, wenn noch Kosten dabei sind.
Ah, das ist richtig. Ich hatte anfangs angenommen, das wären weitere Vorteile, weil ich den Text nicht aufmerksam genug gelesen habe. Danke für den Hinweis, n = 14.8031 Jahre ist richtig.
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Hallo,

Bei rb ≠ rc ≠ rh ist eine Auflösung nach n leider nicht möglich. Da müsstest Du mit einem Näherungsverfahren arbeiten.

LG

Beantwortet von 2,2 k
0 Daumen
Ich glaube nicht, dass das geht.

Versuch es mal graphisch. Zahlen einsetzen und einen Plot so erstellen, dass du den Schnittpunkt mit der Horizontalen  y = 'Anlagenkosten' ablesen kannst.

Du kannst auch n schätzen. Wenn du 2 n-Werte hast, bei denen ein pos. resp. ein neg. Resultat rauskommt, suchst du dazwischen weiter, bis du den genauen Zeitpunkt hast.
Beantwortet von 106 k
Nummerisch kann man es versuchen, vielleicht gibt es auch noch eine andere Möglichkeit, bzw vielleicht kann man eine andere Formel aufstellen um das gewünschte Ergebnis zu bekommen.

 

Aber danke für die Hilfe!

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