Beweisen dass Abbildung injektiv ist

Question

f(X)=Y sei eine Abbildung

Wenn für alle Teilmengen A, A' ⊂ X gilt, dass f(A∩A') = f(A) ∩ f(A'), dann ist f injektiv. Wie beweise ich dass die Abbildung in dem Fall injektiv ist?

Answer 1

Sei y∈f(A∩A'). Dann ∃x∈A∩A' mit f(x)=y. Für ein solches x gilt dann x∈A und x∈A', also f(x)∈f(A) und f(x)∈f(A') und somit y∈f(A)∩f(A').

Es gilt also f(A∩A') ⊆ f(A)∩f(A') ∀A,A'⊆X egal wie die Funktion beschaffen ist. Dann ist laut Behauptung f(A)∩f(A') ⊆ f(A∩A') ∀A,A'⊆X hinreichend für Injektivität.

Es genügt deshalb zu zeigen: f nicht injektiv ⇒ ∃A,A'⊆X: f(A)∩f(A') ⊈ f(A∩A').

Angenommen f ist nicht injektiv. Seien x,x'∈X mit x≠x' und y = f(x) = f(x'). Dann ist f({x})∩f({x'})={y}⊈∅=f(∅)=f({x}∩{x'}).

Comments

Hallo und danke für deine Antwort. Mir ist jedoch der letzte Teil nicht klar. Also das mit: "Angenommen f ist nicht injektiv. Seien x,x'∈X mit x≠x' und y = f(x) = f(x'). Dann ist f({x})∩f({x'})={y}⊈∅=f(∅)=f({x}∩{x'})." Ich verstehe diesen Teil nicht, wie zeigt er dass die Funktion f nicht injektiv ist? Und ist das wichtig oder genügt nur der erste Teil, wo man zeigt dass die Behauptung hinreichend für Injektivität ist?

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X⇒Y ist äquivalent zu ¬Y⇒¬X

X ist die Aussage f(A)∩f(A') ⊆ f(A∩A') ∀A,A'⊆X

Y ist die Aussage "f ist injektiv".

Ich habe X⇒Y gezeigt indem ich ¬Y⇒¬X gezeigt habe.

> wie zeigt er dass die Funktion f nicht injektiv ist?

Überhaupt nicht. Das f nicht injektiv is, ist die Prämisse. Der Teil zeigt, dass f(A)∩f(A') ⊆ f(A∩A') ∀A,A'⊆X nicht gelten kann.

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Ah deshalb also. Da bleibt aber noch eine Kleinigkeit die ich nicht ganz verstehe. Wieso kommt bei deiner Annahme dass f nicht injektiv ist, die leere Menge vor, bei f({x})∩f({x'})={y}⊈∅=f(∅)=f({x}∩{x'}) ? > " Überhaupt nicht. Das f nicht injektiv is, ist die Prämisse. Der Teil zeigt, dass f(A)∩f(A') ⊆ f(A∩A') ∀A,A'⊆X nicht gelten kann. " Uh, damit hast du mich etwas verwirrt. Wieso kann das nicht gelten? Ich dachte, das wurde weiter oben bewiesen. In der Aufgabe muss man zeigen dass bei "f(A∩A') = f(A) ∩ f(A')" f immer Injektiv ist. Wie wurde das gezeigt? Hat der Teil unten mit der leeren Menge die behauptung bestritten oder bestätigt? Entschuldige für die Fragen, aber es ist mir bei dieser Aufgabe wichtig dass ich Sie ganz verstehe.

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> Wieso kommt bei deiner Annahme dass f nicht injektiv ist, die leere Menge vor

Weil es so funktioniert.

Das wahrscheinlich keine befriedigende Antwort. Machen wir es deshalb mal anders herum: In dem Ausdruck f({x})∩f({x'})={y}⊈∅=f(∅)=f({x}∩{x'}) kommen drei =-Zeichen und ein ⊈-Zeichen vor. Bei welchem dieser Zeichen ist es dir nicht ganz geheuer, ob die angegebene Beziehung tatsächlich gilt?

> Wieso kann [f(A)∩f(A') ⊆ f(A∩A')] nicht gelten? Ich dachte, das wurde weiter oben bewiesen.

Oben wurde f(A∩A') ⊆ f(A)∩f(A') bewiesen, nicht f(A)∩f(A') ⊆ f(A∩A').

> Wie wurde das gezeigt?

Indem die Kontraposition bewiesen wurde.

> Hat der Teil unten mit der leeren Menge die behauptung bestritten oder bestätigt?

Er hat die Behauptung bewiesen indem die Kontraposition (wenn f nicht injektiv, dann nicht f(A∩A') = f(A) ∩ f(A') für alle A,A') bewiesen wurde.

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Jetzt ist mir einiges mehr klar, vielen dank oswald!