Obermenge. Zeige dass B ⊇ (f(f^{-1}(B))

Question

Darf ich nur mal fragen wie es mit dem Beispiel A rechts  ist und der Aufgabe B dazu? 

Weil ich komme die ganze Zeit darauf, dass B eine unechte Obermenge von f(f^-1(B)) ist. kann das sein?

Das sind meine Ansätze zu Beispiel rechts und B.

B ⊇ (f(f^-1(B))

Sei y∈B und B⊆Y.

(∀y∈B)(∃x∈X):x= f^-1(y).

Wenn das Urbild, also die entstandenen x über f^-1(y) wieder abgebildet werden über f(x), ∃z∈Y, wobei ∀z∈Y auch ∀z∈B sind. Dadurch stellen die z's  einen Teil der  y's  in B dar.

Somit bilden ∀y∈B die Obermenge (unechte Obermenge???) von f(f^-1(B)) 

Weiters habe ich versucht ein Gegenbeispiel zu finden in dem ich sehen kann, dass im allgemeinen keine Gleichheit gilt, jedoch komme ich andauernd auf Gleichheit. Kann das sein oder gehe ich das falsch an? Ist es nämlich immer gleich würde es ja eine unechte Obermenge sein, aber das sollte es ja nicht sein oder?

Comments

Für den Helfer ist es eigentlich eine Zumutung, für die Aufgabenstellung eine  pdf herunterzuladen.

Ein Photo sollte es mindest sein. 

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okay das tut mir Leid, das wollte ich nicht, hier kommt sie!

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EDIT: Habe das Bild jetzt oben eingefügt und hoffe, dass das hilft. 

Answer 1

Hi Jamma,

Sei y∈B und B⊆Y.

(∀y∈B)(∃x∈X):x= f^-1(y).

Das ist i.A. falsch, da die Funktion nicht surjektiv sein muss, deswegen besteht auch keine Gleichheit (mehr dazu im Gegenbeispiel). Die Relation ergibt sich im Grunde direkt aus der Definition. 

Sei \( B \subseteq Y\). Dann gilt:

$$ \forall x \in f^{-1}(B): f(x) \in B \Rightarrow f(f^{-1}(B)) \subseteq B $$

Als Gegenbeispiel betrachte die Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2 \) und \( B = [-1,1] \).

Gruß