Zeigen Sie, dass gilt: Für alle A,B ⊆ X ist f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B)

Question

Hallo liebe Community. Ich bräuchte leider wieder Hilfe bei folgendem Beispiel. Ich bitte um eure Unterstützung meine Fehler dabei auszubessern und mir einfach zu zeigen, wenn ich dabei was falsch gemacht habe bzw. der Beweis nicht ausreichend ist.

Aufgabe:

X und Y seien nichtleere Mengen und f: X → Y sei eine Abbildung.

Zeigen Sie, dass gilt: Für alle A,B ⊆ X ist f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B)

Meine Lösung:

Seien A,B Mengen für die gilt : a∈A und b∈B und somit a,b∈X.

((∃a∈A) ∧ (∃a∈B) : f(a) = f(x) ) ⊆ (f(A) ∩ f(B)) wobei gilt:

(∀a∈A):f(a) ∧ (∀b∈B):f(b) wobei (∃f(a)∈f(A)) ∧ (∃f(a)∈f(B)).

Daraus erkennt man, dass f(x) eine Teilmenge von (∀a∈A):f(a) ∧ (∀b∈B):f(b) sein muss,

da f(x) mind. ein a aus A und B bekommt, aber f(a) alle a aus A bekommt und f(b) alle b aus B erhält.

Dadurch muss die Schnittmenge von f(A) und f(B) mind. das f(x) enthalten.

Es wäre sehr nett wenn ihr meinen persönlichen Beweisstil nicht komplett überarbeitet aber mir schon sagt was dabei nicht stimmt bzw. was ergänzt gehört. Ich bin euch sehr dankbar.

Answer 1

diesen "persönlichen Beweisstil" würde ich nochmal überdenken.

Schauen wir doch mal für \( A \cap B \neq \emptyset \):

$$ y \in f(A \cap B) \Rightarrow \exists x \in A \cap B: f(x) = y $$

da \( x \in A \wedge x \in B \Rightarrow y \in f(A) \wedge y \in f(B) \) also \(y \in f(A) \cap f(B) \).

(Das war jetzt ausführlich, manche Schritte könnte man natürlich auslassen, aber im grunde stehen oben einfach nur die Definitionen, die Folgerungen sind ziemlich straight forward ;)).

Ein wenig Überlegung warum die Behauptung für 2 disjunkte Mengen ebenfalls stimmt wäre eventuell auch nicht schlecht.

Gruß

Comments

und das is wirklich alles ? das heißt ich habe vollen Blödsinn gemacht?

Ich habe dann folgendes noch, falls es 2 disjunkte Mengen wären:

wenn A ∩ B = Φ und sei a∈A und b∈B

Dann ist y∉f(A ∩ B) => (∀a∈A ∧ a∉B ∧ es exist.kein x∈A ∩ B : f(x) = y)

da ∀a∈A ∧ ∀b∈B ∧ b≠a => (y∈f(A) ∧ y∉f(B)) v (y∉f(A) ∧ y∈f(B))

stimmt das?

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und das is wirklich alles ?

Wenn du fragen musst, dann weckst du bei mir das Gefühl, dass du es nicht verstanden hast.

stimmt das?

Meine Meinung zu dem Notationsmassaker hab ich dir schon oben mitgeteilt. Das sind alles keine flüßigen Aussagen teilweise erschließt sich mir gar kein Sinn dahinter (wobei du bestimmt irgend eine Art von Argumentation hast).

Wenn die zwei Mengen disjunkt sind, dann ist das Bild leer und die leere Menge ist immer Teilmenge einer anderen Menge.

Ich würde dir raten in Zukunft deine Folgerungen und Beweisvorgänge erstmal so aufzuschreiben wie du es tatsächlich meinst und dann Schritt für Schritt in mathematischer Notation aufzuschreiben. 

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Okay dann reicht es also zu sagen:

Seien die beiden Mengen A,B disjunkt. Und sei a∈A und b∈B.

Seien alle a in A und sei kein a in B dann ist die Schnittmenge von A und B leer, also die leere Menge.

Die Funktion der leeren Menge ergibt kein Bild, d.h. die Abbildung hat kein y ∉ f(A ∩ B). Jedoch wissen wir, dass die leere Menge die Teilmenge jeder Menge ist und somit ist die Aussage wahr.

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Umständlich und teilweise nicht korrekt ausgedrückt (jetzt versteh ich auch die Herkunft deines Notationfeuerwerks),aber im grunde ja, das steht da oben. Ich kürze mal damit du siehst wie wenig du davon brauchst.

Seien die beiden Mengen A,B disjunkt. OK

Und sei a∈A und b∈B.

Seien alle a in A und sei kein a in B dann ist die Schnittmenge von A und B leer, also die leere Menge.

-> Die Schnittmenge von A und B ist leer.

Die Funktion der leeren Menge ergibt kein Bild, d.h. die Abbildung hat kein y ∉ f(A ∩ B).

-> Das Bild der leeren Menge ist die leere Menge.

Jedoch wissen wir, dass die leere Menge die Teilmenge jeder Menge ist und somit ist die Aussage wahr. OK

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okay dankeschön. Am Anfang wenn man sowas lernt weiß man irgendwie nie wie wenig ausreichend ist und wieviel nötig ist. Okay vielen dank.

Deshalb auch meine Frage davor ob das wohl ausreicht. Das ist für mich sehr schwer zu sehen. Danke für deine Geduld.

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Dann musst du dich fragen warum es für dich schwer zu sehen ist. Glaubst du Beweise oder verstehst du sie? Damit man weiß wann eine Behauptung fertig bewiesen ist muss man erstmal verstehen was überhaupt zu zeigen ist, vielleicht liegt es daran. Du musst ja ein Gefühl dafür entwickeln wann deiner Meinung nach was richtig bzw. ausreichend gezeigt ist und wenn du dir unsicher bist, dann musst du Argumente dafür aufbringen können warum du denkst, dass es nicht ausreichend ist.

Kein Problem gerne.