det(AD-BC)=det(A B;C D)

Question

Seien A,B,C,D Matrizen. D invertierbar und CD=DC. Dann gilt det (A B; C D)= det(AD-BC)

Wer aknn mir bitte helfen hab keine ahnung wie das gehen soll, wo ich anfangen kann, da ABCD Matrizen sind.

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Comments

Kann jemand vielleicht helfen?

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Das ist vermutlich schwierig. Was bedeutet denn der Strichpunkt innerhalb von det (...) .

Sollen das Matrixmultiplikationen sein?

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nein A B C D sind matrizen und bilden wieder eine matrix= ( A B

C D)

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Aha. Kannst du da nicht mit der Entwicklung der Determinante der grossen Matrix argumentieren? Man sollte doch da geschickt ausklammern können.

CD = DC könnte auf die Zeilen- und Spaltenzahl der Matrizen zielen. Die müssen ja irgendwie zusammenpassen.

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CD = DC könnte auf die Zeilen- und Spaltenzahl der Matrizen zielen

Da steckt mehr dahinter, wie du erkennen wirst, wenn du das Matrizenprodukt
(A - BCD^-1    B  ;  O    D) · (E   O  ;  CD^-1    E)   berechnet hast.

Zusatz : hat sich mit Y.s Beitrag überschnitten und somit erledigt.

Answer 1

Hi,

Hier mal eine kurze Beschreibung:

Sei F = \(\begin{pmatrix} A && B \\ C && D \end{pmatrix} \).und \(D\) eine \(n \times n \)-Matrix.

1. Es ist $$ F \cdot \begin{pmatrix} D && 0 \\ -C && E_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AD-BC && B \\ 0 && D \end{pmatrix}  $$

2. Somit folgt \( \det(F) \cdot \det(D) = \det(AD-BC) \cdot \det(D) \)

3.  Da \(D\) invertierbar ist folgt die Behauptung.

PS: Für den Schritt von 1 nach 2 braucht man schon etwas mehr Hintergrundwissen über Blockmatrizen.

Gruß

Comments

Danke. Ich brauche vielleicht noch einen Tipp um es ganz zu verstehen. Ich versteh den beweis noch nicht. Kannst du den nochmal kurz erklären

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Sowas wie "ich versteh den Beweis nicht" kann ich auf diesem Niveau nicht durch gehen lassen. Stell konkrete Fragen und du kriegst eine vernünftige Antworten. Präzisiere die Stellen die du nicht verstehst.

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Also ich versteh noch nicht so ganz:

1.) warum ist am ende det(D)=1 und fällt damit weg?

2.) Warum darf ich am anfang die matrix F mit der anderen Matrix multiplizieren?

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1) Das steht da gar nicht warum soll det(D) = 1 sein und wegfallen. Der Gedanke der an dieser Stelle eigentlich greifen sollte ist: Da \(D\) invertierbar ist gilt \(\det(D) \neq 0\) und deswegen kann man beide Seiten der Gleichung durch \(\det(D)\) kürzen.

2) Warum nicht? Was spricht dagegen? Es sollte eher die Frage gestellt werden, warum grade diese Wahl getroffen wird, und das zeigt sich eigentlich in den nächsten Schritten.