Zeigen dass R^2->R Matrix (a b c d) = ad-bc eine Determinantenfunktion ist?

Question

Hallo.. Ich soll zeigen dass R^2->R Matrix (a b c d) = ad-bc eine Determinantenfunktion ist. Dafür muss ich prüfen :

1) Dass es eine lineare Abbildung ist wo ich schonmal rausbekomme dass das nicht der Fall ist?

2) Ist Rg(A) <n so ist det(A) =0. Wie zeig ich das?

3) det(En) =1 aber das hab ich ist ja einfach

Ergänzung 3.5.2019

Man soll prüfen ob es eine Determinantenfunktion ist und die erste Bedingung sagt:

Die Abbildung det ist linear in jeder Zeile, d.h. für jedes i=1,2,...,n gilt einmal det(A+B)=det (A)+det(B) und det (kA)= k det(A)

Comments

Wie soll das genau aussehen?

R^2->R Matrix (a b c d) = ad-bc

Vielleicht

R^4->R Matrix (a b c d) ↦ ad-bc

oder

R^(2x2) ->R Matrix (a b c d) ↦ ad-bc

?

Answer 1

Du solltest gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Determinantenfunktion#Definition

multilinear und alternierend zeigen.

Answer 2

zu 1.) Was ist denn mit linearer Funktion gemeint? Falls f(a*x + b*y) = a*f(x) + b*f(y) gemeint ist, dann stimmt das auch nicht. Ich denke, dass gemeint ist, dass f(a*b) = f(a)*f(b) ist. Setzte dazu einfach zwei Matrizen ein und rechne nach ;)

Eventuell ist noch z.z., dass f(a^T) = f(a), siehe dazu 2.ii), lässt sich aber einfach nachrechnen.

zu 2.) Wenn Rg(A) < 2 ist, dann heißt dass entweder:

i) Rg(A) = 0 -> A = 0 (das ist einfach)

ii) Rg(A) = 1 -> ein Vektor ist linear abhängig vom anderen. Dann lässt sich o.B.d.A. sagen, dass ein c ex. mit A = (a b c*a c*b) (für den Fall linear abhängiger Spaltenvektoren betrachte A^T). Dann ist f(A) = a*c*b - b*c*a = 0

Comments

Ich habe schon zwei Matrizen verwendet aber es kommt halt raus dass es eben nicht dasselbe ist

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Danke auch erstmal für deine Antwort:) ich muss doch det einsetzen oder nicht?

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Ich präzisiere nochmal: Was ist denn genau mit einer linearen Funktion gemeint? Weil wenn es so ist wie du meinst, dann hast du Recht und sie ist nicht linear. Aber Determinanten sind allgemein nicht linear! Kannst du eventuell die genaue Aufgabenstellung zur Verfügung stellen?

Was ich meinte ist, wenn du die Auffassung von Linearität det(A*B) = det(A)*det(B) hast, dann lässt sich das einfach nachrechnen.

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Man soll prüfen ob es eine Determinantenfunktion ist und die erste Bedingung sagt:

Die Abbildung det ist linear in jeder Zeile, d.h. für jedes i=1,2,...,n gilt einmal det(A+B)=det (A)+det(B) und det (kA)= k det(A)

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Du hast scheinbar immer noch nicht verstanden, dass die Determinantenfunktion in obigen Falle 2 Argumente, x,y hat. Schreibt man so auf: det(x,y)=..., wobei x=(a,b), y=(c,d)

Zu prüfen ist nun: det(ax+bz,y)= a*det(x,y)+b*det(z,y). Das ist ein Einzeiler.

Desweiteren ist zu prüfen, dass det(x,y)=-det(y,x) . Auch das ist sofort erkennbar an der expliziten Funktionsvorschrift.