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Aufgaben Bildungsgesetze von reellen Zahlenfolgen:

1. Beweise aufgrund der gegebenen Rekursionsformel das angegebene Bildungsesetz:

a) \( a_{1}=2, ~ a_{n+1}=a_{n}+(2 n+1)(2 n+2) \quad \) Bildungsgesetz: \( a_{n}=\frac{1}{3} n(n+1)(4 n-1) \)

b) \( a_{1}=6, ~ a_{n+1}=a_{n}+(n+1)(n+2)(n+3) \quad \) Bildungsgesetz: \( a_{n}=\frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3) \)


2. Suche eine explizite Darstellung von \( a_{n} \) und beweise die gefundene Formel:

a) \( a_{1}=2, ~ a_{n+1}=a_{n}+2 n+1 \)

b) \( a_{1}=3, ~ a_{n+1}=2 a_{n}-1 \)

c) \( a_{1}=1, ~ a_{n+1}=4 a_{n}+4^{n} \)

d) \( a_{1}=\frac{1}{2}, ~ a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{(1+1)(n+2)} \)

e) \( a_{1}=\frac{5}{4}, ~ a_{n+1}=a_{n} \cdot\left(1-\frac{1}{\left(3n+1\right)(2n-1)}\right) \)


3. Suche jeweila das Bildungsgesetz für die zugehörige Reilhe \( \left(s_{n}\right) \) und beweise es:

a) \( a_{n}=\frac{2}{n(n+1)} \)

b) \( b_{n}=\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)} \)

c) \( c_{n}=\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)} \)

d) \( d_{n}=\frac{n}{(n+1) !} \)

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Zunächst solltest Du mal die ersten zehn oder so Glieder der jeweiligen Folge aufschreiben, zweckmäßigerweise mit Aufgabenbuchstabe und rekursiver Darstellung. Dann klärt sich das mit der expliziten Darstellung vielleicht von selbst...

1 Antwort

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Zu a)

Es ist $$ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)  $$ weil gilt $$ a_{n+1} = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) + 2n+1 = a_n + 2n + 1 $$

Zu b)

Beh. \( a_n = 2^{n-1} a_1 - \sum_{k=0}^{n-2} 2^k \)

Bew. Es gilt $$ 2 a_n -1 = 2^n a_1 - \sum_{k=0}^{n-2}  2^{k+1} -1 = 2^n a_1 - \sum_{k=0}^{n-1} 2^k = a_{n+1} $$

zu c)

Geht ähnlich, Ergebnis $$  a_n = 4^{n-1} ( a_1 + n - 1) $$

Zu d)

Auch ähnlich $$  a_n = a_1 + \frac{1}{2} \frac{n-1}{n+1} $$

e) war nicht zu erkennen

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