Wie ändere ich eine rekursive Darstellung in eine explizite

Question

Ich nicht, wie ich die folgende rekursiver Darstellung in eine explizite umwandele:

u(n)= u(n-1) + 0,035 * u(n-1) + 300

Comments

Zu einer rekursiven Definition gehört immer auch ein Startwert, also z.B.:

u ( 0 ) = 1

Andernfalls bricht die Rekursion nicht ab. Hast du einen solchen Startwert?

Im übrigen kann man die Formel noch etwas zusammenfassen:

u ( n ) = 1,035 * u ( n - 1 ) + 300

---

Danke JoteEs,

Entschuldige, dass ich so spät antworte.

Das Startwert beträgt 5000

---

Wie lautet eigentlich die genaue Aufgabenstellung?

Answer 1

Hallo Anonym, du kannst die rekursive Darstellung einer Folge meiner Meinung nach nur durch Mustererkennung herausfinden, für dein oben genanntes konkretes Beispiel lautet das folgendermaßen -->

 

a0=z     (z ist irgendein Startwert, zum Beispiel eine reelle Zahl)

a1=1.035*a0+300

a2=1.035*(1.035*a0+300)+300=1.035^2*a0+1.035*300+300

a3=1.035*(1.035^2*a0+1.035*300+300)+300=1.035^3*a0+1.035^2*300+1.035*300+300

 

Ab hier kann der Mensch bereits ein Muster erkennen !

 

an = 1.035^n*a0 + { Summe aller (1.035^k*300) von k=0 bis k=(n-1) }  

(Ich habe hier zur Hilfe die Zahl k eingeführt !)

Das ist die explizite Darstellung der Folge ! Für jedes n lässt sich nun a_n genau berechnen, ohne das man auf die rekursive Folge noch angewiesen ist !

Ich frage mich, ob es einen allgemeinen Computer-Algorithmus für rekursive Folgen gibt, oder ob diese Art der Mustererkennung dem Menschen vorbehalten bleibt, besonders bei sehr komplizierten Rekursionsvorschriften ?!

Comments

Hallo mir ist nachträglich noch aufgefallen, das man aus dem Ausdruck von oben -->

an = 1.035ⁿ*a0 + { Summe aller (1.035^k*300) von k=0 bis k=(n-1) } 

noch die Zahl 300 ausmultiplizieren kann, dadurch vereinfacht sich die Darstellung zu -->

an = 1.035ⁿ*a0 + 300 * { Summe aller 1.035^k von k=0 bis k=(n-1) } 

Wenn man diesen Ausdruck noch weiter vereinfachen kann, weiß ich nicht wie !

---

@Spielkamerad: Der Summenterm beschreibt eine endliche geometrische Reihe, kann also entsprechend aufgelöst werden.

---

Spielkamerad,

Ich danke dir für deine Antwort. Ich wußte nicht, dass man in eine explizite Darstellung "Summe aller" benutzen kann.

Danke für deine Hilfe.

---

Dafst du auch nicht. Aber es gibt ja Summenformeln für diverse Reihen. Unter anderem auch für die geometrische.

Vielleicht schaust du mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Du solltest auf folgende Lösung kommen:

u(n) = 5000/7·(19·1.035^x - 12) mit u(0) = 5000