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anIn+2(x)=fn(x)+bnIn(x), { a }_{ n }{ I }_{ n+2 }(x) = { f }_{ n }(x) + { b }_{ n }{ I }_{ n }(x),   nN0n ∈ { ℕ }_{ 0 } für die folgenden unbestimmten Integrale her:



1) In(x)=(1x2)n12dx(x<1) { I }_{ n }(x)=\int_{}^{}(1-{ x }^{ 2 }{ ) }^{ \frac { n-1 }{ 2 } } dx \quad \quad \quad (|x|<1)

2) In(x)=tann(x)dx(π2<x<π2) { I }_{ n }(x)=\int_{}^{}{ tan }^{ n }(x) dx \quad \quad \quad \quad (-\frac { π }{ 2 } < x< \frac { π }{ 2 } )



Geben Sie auch Stammfunktionen für spezielle Werte von n n an, die es im Prinzip erlauben, mit Hilfe der Rekursionsformel In(x){ I }_{ n }(x) für alle nN0 n ∈ { ℕ }_{ 0 } zu berechnen.

Hinweis: In Teil 1) führt partielle Integration zum Ziel, für Teil 2) beachte man tan(x)=1+tan2(x)tan'(x) = 1 + {tan}^{2}(x) und verwende die Substitutionsregel.

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Versuch zu (2).In+2(x)=tann+2xdx=(1+tan2x)tannxdxtannxdx.I_{n+2}(x)=\int\tan^{n+2}x\,\mathrm dx=\int(1+\tan^2x)\cdot \tan^nx\,\mathrm dx-\int\tan^nx\,\mathrm dx.Substituiere z=tanxz=\tan x. Dann ist dz=(1+tan2x)dx\mathrm dz=(1+\tan^2x)\,\mathrm dx undIn+2(x)=zndzIn(x)=1n+1tann+1xIn(x).I_{n+2}(x)=\int z^n\,\mathrm dz-I_n(x)=\frac1{n+1}\tan^{n+1}x-I_n(x).
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