Beweis der Gleichheit von Schnittmengen kartesischer Produkte

Question

Hallo

Ich finde keinen Ansatz für folgende Aufgabe:

(A×C) ∩ (B×D) = (A∩B) × (C ∩ D)

Es wäre sehr schätzenswert, eine formale Lösung zu erhalten, damit ich damit mich an den folgenden Aufgaben daran orientieren kann.

Answer 1

Es genügt zu zeigen:

1. (A×C) ∩ (B×D) ⊆ (A∩B) × (C ∩ D) und
2. (A∩B) × (C ∩ D)  ⊆ (A×C) ∩ (B×D)

Zu 1. Es sei m = (r,s) ∈ (A×C) ∩ (B×D). Dann ist (r,s) ∈ (A×C) und (r,s) ∈  (B×D), also insbesondere auch r ∈ A und r ∈ B und somit r ∈ A∩B.

TODO: Ergänze und zeige dadurch m ∈ (A∩B) × (C ∩ D).

Zu 2. Es sei m = (r,s) ∈ (A∩B) × (C ∩ D).

TODO: Zeige dass m ∈ (A×C) ∩ (B×D) ist.

Comments

Danke für die Antwort

Aufzuzeigen, dass r ∈ A und r ∈ B und somit r ∈  A∩B ist, impliziert dann, dass ich das selbe mit s für C∩D, also s ∈ C und s ∈ D und somit s ∈  C∩D mache, bevor ich zu Schritt 2 gehe?

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So ist es.