Ich versuche die Gleichheit zweier Produkte aus reinem Interesse zu beweisen, verliere mich da aber im Induktionsschritt.
Behauptung:
$$ \forall \ n \in \mathbb{N_{>0}}: \prod_{k=1}^n{2n-k+1}=2^n\cdot\prod_{k=1}^n{2k-1} \quad (*)$$
Induktionsanfang:
$$ \text{Sei } n_0=1. \text{ Dann ist }\\ \prod_{k=1}^1{2\cdot1-k+1}=\prod_{k=1}^1{3-k}=3-1=2=2\cdot 1=2\cdot(2\cdot 1-1)=2\cdot\prod_{k=1}^n{2k-1}=2^1\cdot\prod_{k=1}^n{2k-1}\\ \text{ für n=1 wahr.}$$
Induktionsschritt:
-Angenommen, es gibt eine natürlicher Zahl, sodass (*) erfüllt ist.
-Dann gilt dies auch für n+1,also das gilt:
$$ \prod_{k=1}^{n+1}{2n-k+1}=2^n\cdot\prod_{k=1}^{n+1}{2k-1} $$
-Dies zeigt man so:
$$ \prod_{k=1}^{n+1}{2n-k+1}=\Bigg(\prod_{k=1}^n{2n-k+1}\Bigg) \cdot(2n-(n+1)+1)\stackrel{(*)}{=}\Bigg(2^n\cdot\prod_{k=1}^n{2k-1}\Bigg)\cdot n\\=\Bigg(2^n\cdot\prod_{k=1}^{n+1}{2k-1}\Bigg)\cdot n \cdot \frac{1}{2(n+1)-1}=\Bigg(2^n\cdot\prod_{k=1}^{n+1}{2k-1}\Bigg)\cdot \frac{n}{2n+1}$$
Aber hier fängts an zu knirschen und komme nicht weiter.
