Untervektorraum Schnittmengen/Summengesetz

Question

Sei K ein Körper und n∈N. Fur zwei Unterraume V;W Kⁿ de niert
man
V +W := {v+wIv∈V, w∈W}
Dies ist wieder ein Unterraum. Seien nun V,W,U Unterraume des Kⁿ. Zeigen
Sie: Ist U ⊂ V , so gilt:

V ∩ (W+U)=(V ∩ W)+U.

Gelten allgemeine Beziehungen

i) V ∩ (W + U) = (V ∩ W) + (V ∩ U)

ii) V + (W ∩ U) = (V + W) ∩ (W + U)?

Ich versuche jetzt schon ewig diese Aufgabe zu lösen, komme aber kaum weiter. Ich brauche Hilfe. Ich habe mich wirklich sehr angestrengt, dass ganze alleine zu beweltigen(siehe Uhrzeit). Ich habe mir dieBeweise durchgelesen, dass die die Schnittmenge/ Summe zweier Untervektorräume wieder ein Unternektorraum ist, aber ich schaffe es bei dieser Aufgabe nicht zu verwerten.

Answer 1

V ∩ (W+U)=(V ∩ W)+U

Gleichheit von Mengen zeigt man oft so:

Sei x aus der ersten dann.....   ist es auch in der 2. und umgekehrt.

Hier also :

Sei x aus V ∩ (W+U) .  Dann ist x aus V und  x aus W+U

also gibt es w aus W und u aus U mit x = w+u

Da U ⊂ V ist,  ist u nicht nur aus U sondern auch aus V

und damit auch x - u aus V. Das ist aber gleich w, also

ist w nicht nur in W sondern, weil es gleich x-u ist, auch in V;

also w aus V ∩ W. Damit zeigt die Darstellung  x = w+u,

dass x aus  (V ∩ W)+U  ist.

umgekehrt: Sei x aus (V ∩ W)+U . Dann gibt es ein z aus  V ∩ W und ein

u aus U mit  x = z + u . Da insbesondere z aus W ist, ist also

x in W+U. 

Da U ⊂ V ist,  und auch z aus V ist ist auch z+u aus V  also x aus V.

Somit ist x in V und in W+U also in  V ∩ (W+U) .   q.e.d.